半経験的質量公式

原子核の液滴模型にもとづくベーテ・ヴァイツゼッカーの半経験的質量公式は，原子核の結合エネルギーを質量数Aと陽子数Zの関数として与えるものだ（後期の授業開始が迫っており，準備に追われてこんなものまで引っ張り出すことに…）。

質量公式といえば，森田先生の友達だった早稲田大学の山田勝美先生を思い出す。いろいろお世話になったことも。ベータ崩壊の大局的理論から，精密な質量公式の導出へとつながる研究に進み，日本の原子核理論分野ではユニークな位置にいたような気がする。

ベーテ・ヴァイツゼッカ—の質量公式からペアリング項を除いた束縛エネルギーの表式は次のようになる。

$ B(A,Z) = a_\mathrm{V} \cdot A - a_\mathrm{O} \cdot A^{2/3} - a_\mathrm{C} \cdot  \frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_\mathrm{S} \cdot \frac{(N - Z)^2}{A} $

順に，体積項，表面項，クーロン項，対称項となっている。

教科書にあるような，一核子当たりの束縛エネルギー$B(A)/A$のグラフを書くためには，陽子数と質量数の関係$Z(A)$が必要である。これは，$\frac{d}{dZ}B(A,Z)=0$を与える$Z^*(A)$として求まり，

$Z^*(A)=\dfrac{A}{2+ a_\mathrm{C}/(2 a_\mathrm{S}) A^{2/3}}$となる。

ここで，$a_\mathrm{V}=15.8,\ a_\mathrm{O}=17.8,\ a_\mathrm{C}=0.70, \ a_\mathrm{S}=23.3$ という経験値（単位はいずれも MeV）を代入すると，

b[a_, z_] := 

 15.6 a - 17.2 a^(2/3) - 0.70 z^2/a^(1/3) - 23.3 (a - 2 z)^2/a

sol1 = NSolve[D[b[a, z], z] == 0, z];

z[a_] := z /. sol1[[1]]

e[a_] := b[a, z[a]]/a

v[a_] := 15.6

o[a_] := v[a] - 17.2 a^(-1/3)

c[a_] := o[a] - 0.70 z[a]^2/a^(4/3)

s[a_] := c[a] - 23.3 (1 - 2 z[a]/a)^2

Plot[{v[a], o[a], c[a], s[a]}, {a, 1, 216}, PlotRange -> {0, 20}]

sol2 = NSolve[D[e[a], a] == 0, a]

z[a] /. sol2[[2]]

{{a -> 4.66671*10^7}, {a -> 61.2878}}

27.4402

この近似式では，A=61，Z=27 が核子当たり結合エネルギー最大の核種となる。実際は鉄Fe（A=56, Z=26）なので少しズレている。

当初は，自分でグラフを書くには，$A=2Z + k Z^2$という近似が簡単かなと考えていた。鉛Pb（A=208, 82）を代入すれば，$1/k=153$から$Z(A)=-153+\sqrt{153^2+153 A}$ となる。概ねよい近似ではあるが，それほどメリットはなかった。

図：ベーテ・ヴァイツゼッカ—質量公式による核子当たり結合エネルギー

（上から，体積項，−表面項，−クーロン項，−対称項）