N個の粒子系の全エネルギーをEとする。i番目の箱には，gi個の 区別できない状態 があり，1粒子エネルギーuiを持つni個の粒子がこれらの状態に配置されている。ただし，i=(1,...,M)とする。各粒子は区別できず，gi個の状態には 1個まで入ることができる。Maxwell=Boltzmann分布の場合と同様の式で，このエネルギー分配の場合の数の対数logWの極値問題を考えればよい。
粒子の区別がないので，その個数だけに着目しなければならない。i番目の箱に，gi通りの状態があって，ni個の粒子を配置する場合の数Wiを考える。
ni個の粒子とスリットをセットにしたものと，残りのgi−ni個の状態のスリットを混ぜて並べ，区別できない同種のパターンの数で割ることにすると，Wi=Cni+gi−1ni=gi!ni!(gi−ni)!とすればよい。
スターリングの公式を適用すると，logW=∑Mi=1logWi=∑Mi=1(giloggi−gi−nilogni+ni−(gi−ni)log(gi−ni)+gi−ni)。これから，δlogW=(log(gi−ni)−logni)dniとなる。
また，粒子数とエネルギーの制約条件をラグランジュ未定乗数法で取り込めば，
δ{logW+α(N−∑Mi=1ni)+β(E−∑Mi=1uini)}=0より，∑Mi=1(log(gi−ni)−logni−α−βui)dni=0。したがって，log(gi−ni)−logni−α−βui=0
より，gi−nini=eα+βuiであり，状態の占有率はfi=nigi=1eα+βui+1=1eui−μkBT+1となる。
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