フェルミ分布

 $N$個の粒子系の全エネルギーを$E$とする。$i$番目の箱には，$g_i$個の 区別できない状態 があり，1粒子エネルギー$u_i$を持つ$n_i$個の粒子がこれらの状態に配置されている。ただし，$i=(1,...,M)$とする。各粒子は区別できず，$g_i$個の状態には 1個まで入ることができる。Maxwell=Boltzmann分布の場合と同様の式で，このエネルギー分配の場合の数の対数$\log W$の極値問題を考えればよい。

粒子の区別がないので，その個数だけに着目しなければならない。$i$番目の箱に，$g_i$通りの状態があって，$n_i$個の粒子を配置する場合の数$W_i$を考える。

$n_i$個の粒子とスリットをセットにしたものと，残りの$g_i-n_i$個の状態のスリットを混ぜて並べ，区別できない同種のパターンの数で割ることにすると，$W_i=C_{n_i}^{n_i+g_i-1}=\frac{g_i!}{n_i! (g_i-n_i)!}$とすればよい。

スターリングの公式を適用すると，$\log W = \sum_{i=1}^M \log W_i = \sum_{i=1}^M (g_i\log g_i-g_i -n_i \log n_i +n_i -(g_i-n_i) \log (g_i-n_i) +g_i -n_i)$。これから，$\delta \log W = (\log(g_i-n_i) -\log n_i ) dn_i$となる。

また，粒子数とエネルギーの制約条件をラグランジュ未定乗数法で取り込めば，

$\delta \{ \log W +\alpha (N-\sum_{i=1}^M n_i) + \beta (E - \sum_{i=1}^M u_i n_i) \} = 0$より，$\sum_{i=1}^M(\log(g_i-n_i)-\log n_i -\alpha -\beta u_i)dn_i = 0$。したがって，$\log(g_i-n_i)-\log n_i -\alpha -\beta u_i = 0$

より，$\frac{g_i-n_i}{n_i}=e^{\alpha + \beta u_i}$であり，状態の占有率は$f_i=\dfrac{n_i}{g_i}= \dfrac{1}{e^{\alpha + \beta u_i}+1} = \dfrac{1}{e^{\frac{u_i-\mu}{k_B T}}+1}$となる。