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2021年8月24日火曜日

フィボナッチ数列と1/89

不思議な式をみかけたのでメモ。小数点以下の数字の並びがフィボナッチ数列になっている有理数のこと。

189=0.0112359550...=0.01+0.001+0.0002+0.00003+0.000005+0.0000008+0.00000013+...=1102+1103+2104+3105+5106+8107+13108+...

そこで,フィボナッチ数列をFi (F0=0F1=1F2=1Fi+1=Fi+Fi1i1)として,次の和Sを定義する。S=i=1Fi10i+1

このとき,S=i=1Fi10i+1=i=2Fi110i10S=i=1Fi10i である。

これから S = \dfrac{1}{89}がでてくる。

[1]1/89がフィボナッチ数列を表すのはなぜですか?

[2]小数点以下にフィボナッチ数列が出現する有理数



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