点変換

量子ホール効果のあらましを少しだけ勉強する必要があった。自宅にある本は岩波書店の新物理学選書「量子ホール効果」吉岡大二郎と岩波講座現代の物理学18「局在・量子ホール効果・密度波」だ。

さっそく，前者をひもとくと電磁場中の荷電粒子における並進演算子の生成演算子がでてきて，K=p-eA+eB×r とあった。わからない。どこからでてきた。普通は，解析力学のラグランジアンを書いてネーターの定理を当てはめるのだけれど，具体的にどうすればいいかわからない。

しかたがないので，岩波講座 現代の物理学1「力学」の第1章Lagrange形式から読み直す。ふむふむ。そして点変換のところでつまづいた。一般座標(q_1,...,q_n)から(q'_1,...,q'_n)の変換が，各点同士に一対一対応がある場合，つまり，q'_i(t)=q'_i(q_1(t),...,q_n(t)) (i=1,...,n) と書けて，A_ij = ∂q'_i(t)/∂q_j(t) という変換行列の行列式がゼロでなく有限になるという条件のあるときだ。

この点変換に対して，ラグランジアンが不変になるという話が必要であった。その導出過程に，∂p_j(t)/∂p'_i(t) = ∂q_j(t)/∂q'_i(t) という式が現われる（ただし，p(t) ≡ d/dt q(t) ）。老人の頭はかたく，いろいろ調べても考えてもこれがわからない。四苦八苦したあげくAIにきいてみた。

あららなんと，正しい導出過程を教えてくれるではないか。推論できるChatGPT o1 だけでなく，GeminiやDeepSeek でもそれなりの答えが得られた。うーん，ついにAIは普通の人間の理解力を越えてきたかと感慨深いものがある。いやたんに自分が惚けてきただけか。

Ｑ（koshix）：

解析力学の一般論です。

q(t) = (q_1(t), … ,q_n(t)) であり，自由度nの系を扱っている。

以下，\dot{q}(t) = p(t) と表記し，q(t) p(t)などの(t)は省略する。

ラグランジアンLが点変換に対して不変であるとは，変換後のL'が次式を

L'(q',p',t) ≡L(q,p,t) で与えられることを意味する。

点変換であるため，δq'_i=Σ_j ∂q'_i/∂q_j δq_j などが成り立つ。

このとき，以下の関係式が成立することを導いてください。

∂L'(q',p',t)/∂p'_i = Σ_j ∂L(q,p,t)/∂p_j・∂p_j/∂p'_i = Σ_j ∂L(q,p,t)/∂p_j・∂q_j/∂q'_i

Ａ（DeepSeek V3）：

解析力学における点変換に対するラグランジアンの不変性から、以下の関係式を導出します。

前提条件

・ラグランジアンL(q,p,t) が点変換に対して不変である。

・点変換後のラグランジアンをL'(q',p',t)とし，L'(q',p',t)≡L(q,p,t)が成り立つ。

・点変換により，q'i=q'i(q,t)およびp'i=p'i(p,t)が定義される。

・点変換の性質から。δq'i=Σj∂q'i/∂q'jδqjが成り立つ。

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目標

以下の関係式を導出する：

∂L'(q',p',t)/∂p'i = Σj ∂L(q,p,t)/∂pj・∂pj/∂p'i = Σj ∂L(q,p,t)/∂pj・∂qj/∂q'i

​

導出過程

１．ラグランジアンの不変性：

点変換に対してラグランジアンが不変であるため，次式が成り立つ：

L'(q',p',t) = L(q,p,t)

ここで，q'とp'はqとpの関数である。

２．偏微分の連鎖律：

L'をp'iで偏微分するために，連鎖律を適用する：

∂L'(q',p',t)/∂p'i = Σj(∂L(q,p,t)/∂qj・∂qj/∂p'i + ∂L(q,p,t)/∂pj・∂pj/∂p'i)

ここで，qjはp'iに依存しないため，∂qj/∂p'i=0となる。したがって，次式が得られる。

∂L'(q',p',t)/∂p'i = Σj ∂L(q,p,t)/∂pj・∂pj/∂p'i

３．点変換の性質を利用:

点変換の性質から，pjとp'iの関係は，qjとq'iの関係と対応する。具体的には，運動量pjは

一般加速度\dot{q}jに関連しており，点変換により\dot{q}'i=Σj∂q'i/∂qj \dot{q}j が成り立つ。

したがって，運動量の変換も同様の関係を持つ：

pj = Σi p'i ∂q'i/∂qj

これを逆に解くと、次式が得られる：

∂pj/∂p'i = ∂qj/∂q'i

４．最終的な関係式

上記の結果を代入すると，次式が得られる：

∂L'(q',p',t)/∂p'i = Σj ∂L(q,p,t)/∂pj・∂qj/∂q'i

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５．結論

以上から、以下の関係式が成立する：

∂L'(q',p',t)/∂p'i = Σj∂L(q,p,t)/∂pj・∂pj/∂p'i = Σj ∂L(q,p,t)/∂pj・∂qj/∂q'i

P. S. これはR1ではなく，V3の結果である。問題自身がそんなにややこしいものではなく，常識的な論理の範囲ででてきたものだ。それが思いつかなかった自分がアホだったということ。一方，DeepSeek R1も別の問題で試してみたが，こちらはより時間をかけて推論が行われ，その過程の説明文が明示されている。