五芒星

真鍋さんがMIPOで sin π/5 の求め方を書いていた。

最初の代数的方法は，sin n x の一般式（n倍角の公式）を使うとよい（ド・モアブルの定理経由）。つまり，sin 5θ = 16 sin^5θ - 20 sin^3θ + 5 sinθ。θ=π/5を代入すると，x=sinθとして，16x^4-20x^2+5 = 0というxの4次方程式（x^2の2次方程式）がでてきてすぐに納得できた（といってもn倍角の公式導出はChatGPTに頼ったけれど・・・）。

一方2番目の幾何学的な方法は，正五角形と五芒星をかいてθ=π/5=36度の鋭角を持った直角三角形の相似条件から求めるというもので，それを前提に自分でも考えてみようとしたけれど，中々思いつかない。しかたがないので，ちゃんと図を描いてみようとしたが，フリーハンドではわかりにくい。

そこで，ChatGPT-5 Thinking にTikZでの作成を依頼した。こんな感じで。

Ｑ（koshix）：

LatexのTikZを使って次の作図をしてください。

(1) 薄いグレイドットの1cmグリッドが入ったxy座標系をとって，以下の図形はy>=0の領域だけ描画する。

(2) 原点を中心として半径6cmの円

(3) 原点を中心として中心から頂点までの距離が6cmの正五角形 。ただし，１つの頂点は(6,0) におく。 

(4) 各頂点をすべて結んで五芒星になるようにする。

(5) 原点にO,(6,0)の頂点をA，反時計回りの頂点を，B，Cとラベルする。

(6) 原点から辺ABに垂線ODを降ろす。

(7) OBとACが直交している交点をEとする。

以上よろしくお願いします。

（その後，ODとACの交点F，FからAOに降ろした垂線の足Gを追加した。）

結果のTikZをチューニングしたものが以下のコードである。

\begin{tikzpicture}[scale=1.0]

% 1cmグリッド（薄いグレードット）

\draw[step=1cm,black!50,dotted] (0,0) grid (7,7);

% 座標軸

\draw[gray!50,->] (0,0) -- (7,0) node[right] {$x$};

\draw[gray!50,->] (0,0) -- (0,7) node[above] {$y$};

% 点の定義

\coordinate (O) at (0,0);

\coordinate (A) at (6,0);                        % (6,0)

\coordinate (B) at ({6*cos(72)},{6*sin(72)});    % 72°

\coordinate (C) at ({6*cos(144)},{6*sin(144)});  % 144°

\coordinate (Dfull) at ({6*cos(216)},{6*sin(216)});

\coordinate (Efull) at ({6*cos(288)},{6*sin(288)});

% 半径6cmの円

\draw[gray!50] (O) circle (6);

% 正五角形（外接円半径6）

\draw[gray]  (A) -- (B) -- (C) -- (Dfull) -- (Efull) -- cycle;

% 五芒星（頂点を全て結ぶ）

\draw  (A) -- (C) -- (Efull) -- (B) -- (Dfull) -- cycle;

% Oから頂点A,Bへの線

\draw[thick, blue] (O)--(A);

\draw[thick, blue] (O)--(B);

  

% Oから辺ABへの垂線 OD

\coordinate (D) at ($(A)!(O)!(B)$);

\draw[thick,blue,dashed] (O) -- (D);

% OB と AC の交点 E（OB ⟂ AC）

\path[name path=OB] (O) -- (B);

\path[name path=AC] (A) -- (C);

\path[name intersections={of=OB and AC,by=E}];

% OD と AC の交点 F (OD ∠ AC)

\path[name path=OD] (O) -- (D);

\path[name path=AE] (A) -- (E);

\path[name intersections={of=OD and AE,by=F}];

% Fから辺AOへの垂線 FG

\coordinate (G) at ($(O)!(F)!(A)$);

\draw (F) -- (G);

% 点の描画

\foreach \P in {O,A,B,C,D,E,F,G}

  \fill (\P) circle (1.8pt);

% ラベル

\node[below left]  at (O) {$O$};

\node[above right] at (A) {$A$};

\node[above right] at (B) {$B$};

\node[above left]  at (C) {$C$};

\node[above right] at (D) {$D$};

\node[above right] at (E) {$E$};

\node[below right] at (F) {$F$};

\node[below right] at (G) {$G$};

\end{tikzpicture}

大変勉強になった。TikZにおいて，

・ある点から別の点への垂線の降ろし方

・２つの線分の交点の求め方

・一連の点の表現を繰り返しで指定する方法

がわかったのだった。

えーと，肝腎の相似条件はわからないままで難渋している。MIPOをもう一度よく読んで見ると頂角36度の二等辺三角形の相似条件だった。チーン。直角三角形ではなかった。まあ，勉強になったからよしとしよう。

図：ChatGPTが生成したTikZで描いた正五角形と五芒星