鈴木貫太郎のチャンネルで， p=a+1a が与えられたときに，a6+1a6 を求める問題があった。これを一般化して，bn≡an+1an を求める問題を考えた。
ここで，bn+1=p bn−bn−1 が成り立つ。これは三項間漸化式なので，このあたりに一般解法がある。漸化式の特性方程式 x2−p x+1=0の解をα=p+√p2−42,β=p−√p2−42とする。このとき，bn=Aαn+Bβn で一般解が与えられることにより，b0=2,b1=p の初期条件からA,Bを決定すると A=B=1となる。
つまり，bn=(p+√p2−42)n+(p+√p2−42)n となる。例えば，b10=−2+25p2−50p4+35p6−10p8+p10 だ。
これをMathematicaでプロットしたら，こんな感じのグラフが出てきた。ただし，aが実数ならば，|p|≥2 なのだ。
図：Plot[b[10], {p, -2.4, 2.4}]のグラフ
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