角運動量の合成への道（３）

（角運動量の合成への道（２）からの続き）

２つの独立な自由度からなる系の別の例として，１つの粒子が軌道角運動量$\boldsymbol{L}$とスピン角運動量$\boldsymbol{S}$を持つ場合を考える。これらを合成した全角運動量を $\boldsymbol{J}=\boldsymbol{L}+\boldsymbol{S}$とする（２粒子系の場合と同様，より正確には通常の３次元空間とスピン空間に作用する演算子のテンソル積 $\boldsymbol{J}=\boldsymbol{L}\otimes \boldsymbol{1}_S+\boldsymbol{1}_L\otimes\boldsymbol{S}$）。

軌道角運動量$\boldsymbol{L}$の固有状態を$|\ell m \rangle$，スピン角運動量$\boldsymbol{S}$の固有状態を$| s \rangle$とし，その積$|\ell m \rangle | s \rangle$を考える。このとき，次の関係が成り立っている。
$$\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{L}^2 |\ell m\rangle = \ell(\ell+1)\hbar^2 |\ell m\rangle, \quad & \boldsymbol{S}^2 | s\rangle = \frac{3}{4} \hbar^2 |s \rangle, \\ L_z |\ell m\rangle = m \hbar |\ell m\rangle, \quad & S_z | s\rangle = s \hbar |s \rangle, \\ L_\pm |\ell m\rangle = \sqrt{\ell(\ell+1)-m(m\pm 1)} \ \hbar |\ell m \pm 1 \rangle, \quad & S_\pm | s\rangle = \sqrt{\frac{3}{4}-s(s\pm 1)} \ \hbar |s \pm 1 \rangle \end{aligned} \end{equation}$$
また，合成角運動量$\boldsymbol{J}$も一般の角運動量の交換関係，$[J_i, J_j]=i\hbar \epsilon_{ijk} J_k$を満足するので，$\boldsymbol{J}^2$と$J_z$の同時固有状態を$|j\mu \rangle$とすると，次の関係が成り立つ。
$$\begin{equation} \boldsymbol{J}^2 |j \mu \rangle = j(j+1)\hbar^2 |j \mu \rangle, \quad J_z |j \mu\rangle = \mu \hbar |j \mu\rangle \end{equation}$$
$[\boldsymbol{J}^2,\boldsymbol{L}^2]=0, [\boldsymbol{J}^2,\boldsymbol{S}^2]=0, [J_z,L_z]=0,[J_z,S_z]=0$などが成立するので，$|j\mu\rangle$を$|\ell m \rangle | s \rangle$から構成することができる（$[\boldsymbol{J}^2,L_z]\neq 0$や$[\boldsymbol{J}^2,S_z]\neq 0$なので，一般には単独の$|\ell m \rangle | s \rangle$は$\boldsymbol{J}^2$の固有状態ではない）。

（１）$J_z$を$|\ell m \rangle | s \rangle$に作用させる。
$$\begin{equation} J_z |\ell m \rangle | s \rangle = (L_z+S_z) |\ell m \rangle | s \rangle = (m+s)\hbar |\ell m \rangle | s \rangle \end{equation}$$
したがって，$|\ell m \rangle | s \rangle$は，$J_z$の固有値$\mu\hbar = (m+s)\hbar$の固有状態である。以下，$m=\mu-s$と表記することもある。

（２）$\boldsymbol{J}^2$を$|\ell \mu-s \rangle | s \rangle$に作用させる。
$$\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{J}^2 &= \boldsymbol{L}^2+ \boldsymbol{S}^2 + 2 \boldsymbol{L}\cdot\boldsymbol{S} = \boldsymbol{L}^2+ \boldsymbol{S}^2 + 2 L_z S_z + L_{+} S_{-} + L_{-} S_{+} \\ \boldsymbol{J}^2 |\ell \mu-s \rangle |s \rangle &= \{ \ell(\ell+1)+\frac{3}{4} + 2 (\mu-s) s \} \hbar^2 |\ell \mu-s \rangle |s \rangle \\ &+ \sqrt{\ell(\ell+1)-(\mu-s)(\mu+s)} \ \hbar^2 |\ell \mu+s \rangle | -s \rangle\\ &= \{ j^2+2s\mu \}\ \hbar^2 |\ell \mu-s \rangle |s \rangle + \sqrt{j^2-\mu^2}\ \hbar^2 |\ell \mu+s \rangle | -s \rangle\\ \end{aligned} \end{equation}$$
ここで，$j=\ell+\frac{1}{2}$とし，$s^2=\frac{1}{4}$を用いた。これから，$\boldsymbol{J}^2$の固有状態を構成するために，$|\mathscr{j} \mu\rangle = \alpha |\ell \mu-\frac{1}{2} \rangle |\frac{1}{2} \rangle + \beta |\ell \mu+\frac{1}{2} \rangle | -\frac{1}{2} \rangle$ とする。ただし規格化条件より$|\alpha|^2+|\beta|^2 = 1$である。この２つの独立な状態に対する固有値方程式は $\boldsymbol{J}^2 | \mathscr{j} \mu\rangle = \lambda \hbar^2  | \mathscr{j} \mu\rangle$ であり，$\alpha, \beta$を用いると次のように行列形式で表される。
$$\begin{equation} \begin{pmatrix} j^2+\mu & \sqrt{j^2-\mu^2} \\ \sqrt{j^2-\mu^2} & j^2-\mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \end{equation}$$
この$\alpha, \beta$に対する連立方程式が自明でない解を持つための条件は，右辺を移行して0にしたときの左辺の行列式が0になることであり，$(j^2+\mu -\lambda)(j^2-\mu -\lambda)-(j^2-\mu^2)=0$という$\lambda$の２次方程式になる。$\therefore (\lambda -j(j+1))(\lambda -j(j-1)) = 0$から$\boldsymbol{J}^2$の固有値$\lambda \hbar^2$は，$j(j+1)\hbar^2$と$j(j-1)\hbar^2$である（したがって，$\mathscr{j}=j$ と $j-1$）。

（３）固有状態の構成
上記の$\alpha$と$\beta$の連立方程式に，固有値$\lambda$を代入して，規格化条件とともに$\alpha$と$\beta$を求めると次のようになる。
$$\begin{array}{c|cc||cc}   \lambda  & \alpha & \beta & \alpha & \beta\\   \hline  j(j+1) & \sqrt{\dfrac{j+\mu}{2j}} & \sqrt{\dfrac{j-\mu}{2j}}  &\sqrt{\dfrac{\ell+m}{2\ell+1}}  & \sqrt{\dfrac{\ell-m+1}{2\ell+1}} \\   \hline  j(j-1)  & \sqrt{\dfrac{j-\mu}{2j}} & -\sqrt{\dfrac{j+\mu}{2j}} &\sqrt{\dfrac{\ell-m+1}{2\ell+1}}  & -\sqrt{\dfrac{\ell+m}{2\ell+1}} \end{array}$$
まとめると，
$$\begin{equation} \begin{array}{l}   \begin{array}{|l|}   \hline   \quad |\ j\quad\ \mu\rangle = \sqrt{\dfrac{j+\mu}{2j}} |\ell \mu-\frac{1}{2} \rangle |\frac{1}{2} \rangle+\sqrt{\dfrac{j-\mu}{2j}} |\ell \mu+\frac{1}{2} \rangle | -\frac{1}{2} \rangle \quad (\lambda = j(j+1)) \quad \\   \quad |j-1\mu\rangle = \sqrt{\dfrac{j-\mu}{2j}} |\ell \mu-\frac{1}{2} \rangle |\frac{1}{2} \rangle-\sqrt{\dfrac{j+\mu}{2j}} |\ell \mu+\frac{1}{2} \rangle | -\frac{1}{2} \rangle \quad (\lambda = j(j-1) ) \quad \\   \hline   \end{array} \\ \end{array} \end{equation}$$

（角運動量の合成へ道（４）に続く）