２６

$\displaystyle 26 = \Sigma_{n=1}^\infty \dfrac{n^3}{2^n}$ という式が急に現われてちょっとビックリした。自分で考える力が衰えている老人はさっそくPerplexity PROに聞いてみる。

Ｑ（koshix）：

Mathematicaで f[k_]:=Sum[n^k/2^n, {n, 1, Infinity}]  と定義したとき f[k]の一般式を与えてください。 

 Ａ（Perplexity PRO）： 

Mathematicaで定義された関数  f[k]:=Sum[n^k/2^n, {n, 1, Infinity}] の一般式は以下のように与えられます：f(k)=Li_−k (1/2)。ここで、Li_−k (1/2) はポリログ関数（polylogarithm function）を表しています。この結果は、無限級数  ∑_{n=1}^∞ n^3/2^n の閉形式解を示しています。ポリログ関数は、このような形の無限級数を表現するのに適した特殊関数です。ポリログ関数 Li_−k (1/2)は一般に次のように定義されます：　Li_s (z)=∑_{n=1}^∞ n^s/z^n この場合、s=−k および z=1/2 となっています。この一般式は、任意の実数 k に対して成り立ちます。特定の k の値に対しては、より簡単な形に簡略化できる場合もありますが、一般的にはこのポリログ関数の形で表現されます。この結果は、複雑な無限級数を単一の特殊関数で表現できることを示しており、数学的に非常に興味深い結果です。

正しいのだけれど，単に名前がついただけなので理解が深まらない。ChatGPT-4oに別の聞き方をしてみよう。

Ｑ（koshix）：

高校数学までの知識で Σn=1,∞ n^3/2^n の値を導出する方法を教えてください

Ａ（ChatGPT-4o）：

（もろもろ略）

Ｑ（koshix）：

いい線いっているようなのですが，ちょっと違うのではないですか。

Ａ（ChatGPT-4o）：

（もろもろ略）

Ｑ（koshix）：

惜しいですね，もう一息ではないでしょうか。

Ａ（ChatGPT-4o）：

（もろもろ略）

しかし、ここでの正確な計算をすると、最終的には $14$ ではなく、 ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^3}{2^n}$ の値は正しくは $\boxed{{\displaystyle 26}}$ です。

導出過程の考え方は正しかったのだけれど，肝腎の代数計算が間違っている。何度かやり直してもうまく計算できず，最終的には，答えだけ無理矢理あわせてきた。夏休みの宿題に四苦八苦しているスーちゃん状態である。

ChatGPT-4oに提案された方法は，$|x| < 1$として，$\displaystyle \Sigma_{n=1}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}$という恒等式から出発し，この両辺を何度か微分して変形した式に $x=\dfrac{1}{2}$を代入するというものだ。

一回微分して両辺に$x$をかけると，$\displaystyle \Sigma_{n=1}^{\infty} n x^n = \dfrac{x}{(1-x)^2}$

この手続きをもう一度繰り返すと，$\displaystyle \Sigma_{n=1}^{\infty} n^2 x^n = \dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}$

さらにこれをもう一度繰り返すと，$\displaystyle \Sigma_{n=1}^{\infty} n^3 x^n = \dfrac{x(1+4x+x^2)}{(1-x)^4}$

これに，$x=\frac{1}{2}$を代入すると，$\displaystyle \Sigma_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^3}{2^n} = 26$