鏡像法（１）

しばらく前に一度だけ電磁気学の授業を担当したとき，静電場についてはポアッソン方程式の導出までで完結していた。鏡像法などで境界値問題を解くのはあまり好きになれないのでスキップした。

$xy$平面に導体面があって，$z$軸上の点$(0,0,a)$に電荷$q$を置くと，導体平面に誘導電荷が生ずる。導体平面上では電位は一定になり，電場は面に垂直な方向を向く。この境界条件を満足させるため，$(0,0,-a)$に電荷$-q$をおいて，電位と電場を計算する。

電位は，$\displaystyle V(\bm{r}) = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0} \Bigl\{ \dfrac{1}{\sqrt{r^2+a^2-2 a r  \cos\theta}} - \dfrac{1}{\sqrt{r^2+a^2+2 a r \cos\theta}} \Bigr\}$であり，電場$\bm{E}(\bm{r})$の$z$成分は，$E_z = -\dfrac{\partial V(\bm{r})}{\partial z} = -\dfrac{\partial V(\bm{r})}{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial z} - \dfrac{\partial V(\bm{r})}{\partial \theta}\dfrac{\partial \theta}{\partial z}$となる。

$\dfrac{\partial r}{\partial z} = \dfrac{z}{r} = \cos \theta$なので，後に$\theta =\frac{\pi}{2}$を代入すると0となって，第1項の寄与はない。$\dfrac{\partial \theta}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial z} \tan^{-1} \dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} = \dfrac{-\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2+z^2} = -\dfrac{\sin\theta}{r} \rightarrow -\dfrac{1}{r} \ (\theta = \pi/2)$

第2項の前半は，$- \dfrac{\partial V(\bm{r})}{\partial \theta}= \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0} \Bigl\{ \dfrac{ a r  \sin \theta}{(r^2+a^2-2ar\cos\theta)^{3/2}} + \dfrac{a r  \sin \theta}{(r^2+a^2+2ar\cos\theta )^{3/2}}\Bigr\}$

したがって，導体平面上の$\theta = \frac{\pi}{2}$における電場の$z$成分は，

$E_z = - \dfrac{\partial V(\bm{r})}{\partial \theta}\dfrac{\partial \theta}{\partial z} = - \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0}\dfrac{2 a r }{(r^2+a^2)^{3/2}}\dfrac{1}{r}$

原点を中心とした導体面上の半径$r$の円環面$dS$の電荷面密度を$\sigma(r)$とすると，ガウスの法則から，$E_z(r) dS = \dfrac{\sigma(r) dS}{\varepsilon_0}\quad \therefore \sigma(r)  = \varepsilon_0 E_z(r) = - \dfrac{q }{2 \pi }\dfrac{a}{(r^2+a^2)^{3/2}}$

この誘導電荷の面密度をすべて加えると

$\displaystyle Q= - \dfrac{2 \pi q }{2 \pi } \int_0^\infty \dfrac{a r dr}{(r^2+a^2)^{3/2}} = -q \Bigl [  \dfrac{-a}{(r^2+a^2)^{1/2}} \Bigr ]_0^\infty = -q$

$z$ 軸上においた電荷と絶対値が等しく逆符号の電荷が導体面に誘導されることが確かめられた。