フェルミ分布

月曜の授業の予習シリーズ。

位相空間（$\mu$空間）の細胞に含まれる状態数は，プランク定数を$h$として，$dn=\frac{1}{h^3} dx dy dz dp_x dp_y dp_z$である。電子のようなスピン1/2のフェルミ粒子を考えると，位相空間の各状態にスピンアップとダウンの2状態がともなう。そこで，単位体積をとって，運動量空間細胞に含まれる状態数は $dn' = \frac{2}{V_0} \int_V dn = \frac{2}{h^3}dp_x dp_y dp_z  = \frac{8 \pi}{h^3} p^2 dp$となる。ただし，$p^2=p_x^2+p_y^2+p_z^2$。粒子の質量を$m$，エネルギーを$w=\frac{p^2}{2m},\ p=\sqrt{2mw}$とすると，$dw=\frac{p}{m}dp\ $より，$dn'=\frac{8 \pi}{h^3} \sqrt{2m^3 w}\ dw\ $となる。

この系のフェルミ分布関数は，$f(w_i)=[\exp(\frac{w_i - w_F}{kT}) + 1]^{-1}$である。ただし，$k$はボルツマン定数，$T$は系の絶対温度，$w_F$はフェルミ準位を表わす。これから，エネルギーの分布関数は，$N(w)dw= \frac{8 \pi}{h^3} \sqrt{2m^3 w} [\exp(\frac{w - w_F}{kT}) + 1]^{-1} dw$となる。これを速度空間の表式にひきもどして，$v_x,v_y$で積分すると$\ v_z$の分布関数が得られる。

そこで，次の関係式に留意する。$\int_{-\infty}^{\infty}dv_x\int_{-\infty}^{\infty}dv_y\int_{-\infty}^{\infty}dv_z f(v_x,v_y,v_z) = 4\pi \int_{0}^{\infty} f(v^2)\ v^2 dv$

$w=\frac{m}{2}v^2$，$dw = m v\ dv$なので

$4\pi \int_{0}^{\infty}f(v^2)  v^2 dv = 4\pi \int_{0}^{\infty} f(v^2)  \frac{v}{m} dw =  \int_{0}^{\infty} 4\pi f(v^2)  \sqrt{\frac{2w}{m^3}} dw$

そこで，$N(w)dw =  4\pi f(v^2)  \sqrt{\frac{2w}{m^3}} dw\ $とおけば，$f(v^2)=N(w) \frac{1}{4\pi} \sqrt{\frac{m^3}{2w}}\ $となるので，$\ v_z$の分布関数 $N(v_z) dv_z$は次式で与えられる。

$N(v_z) dv_z = \int_{-\infty}^{\infty}dv_x\int_{-\infty}^{\infty}dv_y f(v_x,v_y,v_z) dv_z =  \int_{-\infty}^{\infty}dv_x\int_{-\infty}^{\infty}dv_y N(w) \frac{1}{4\pi} \sqrt{\frac{m^3}{2w}} dv_z$

$= \int_{-\infty}^{\infty}dv_x\int_{-\infty}^{\infty}dv_y \frac{2m^3}{h^3} [\exp(\frac{w - w_F}{kT}) + 1]^{-1} dv_z$

$v_x, v_y$平面での積分を2次元の極座標によって実行するため，$u^2=v_x^2+v_y^2$とおいて，$dv_x dv_y = 2\pi u du$となる。

$\therefore \quad N(v_z) dv_z = \frac{4\pi m^3}{h^3} \int_0^\infty du u  [\exp(\frac{\frac{m}{2}(u^2+v_z^2) - w_F}{kT}) + 1]^{-1} dv_z$

$= \frac{4\pi m^3}{h^3} \int_0^\infty \frac{1}{2} dt  [\exp(\frac{\frac{m}{2}(t+v_z^2) - w_F}{kT}) + 1]^{-1} dv_z$

ここで，$a=\exp(\frac{\frac{m}{2}v_z^2 - w_F}{kT})$，$b=\frac{m}{2kT}$とおけば，必要な積分は$\int_0^\infty \frac{1}{a \exp(bt) + 1}dt$となり，その値は$\ \frac{1}{b}\log(1+1/a)\ $である。これより，$N(v_z) dv_z = \frac{4\pi m^2 kT}{h^3} \log (1 + \exp(\frac{w_F - \frac{m}{2}v_z^2}{kT})) dv_z$

これらの分布関数をMathematicaでプロットすると次のようになる。

f[w_, kT_] := Sqrt[w]/(Exp[(w - 1)/kT] + 1)
Plot[Table[f[w, 0.01*k], {k, 1, 10, 2}], {w, 0, 2},PlotRange -> {0, 1}]
g[v_, kT_] := kT/2 Log[(Exp[(1 - .5*v^2)/kT] + 1)]
Plot[Table[g[v, 0.01*k], {k, 1, 10, 2}], {v, 0, 2},PlotRange -> {0, 0.5}]

図１：エネルギー分布関数　N(w)

図２：速度分布関数　N(v_z)