振り子の振れ幅

 小学校理科5年に「振り子の運動」の単元がある。振り子の等時性を，条件制御した実験によって明らかにするというのが目的である。その条件としては，振り子のおもりの重さ，振り子の長さ，振り子の振れ幅（振れ角の初期値の大きさ）の３つが設定されている。

実験で使う安価なデジタルストップウォッチでも100分の1秒まで測れるものが普通なので，小学生による実験でもそれなりの精度が出てしまうわけだ。そういうわけで，丁寧な実験をすると振り子の周期の振れ幅依存性が見えてしまう。単振動の一定周期$T=2 \pi \sqrt{\frac{L }{g}} \approx 2 \sqrt{L}$からのずれ，楕円積分から出てくる効果だ。振れ幅が大きいほど周期が単振動の場合より大きくなる。

これを，実験誤差だからといって無視したり抑え込んでしまうのか，あるいは，将来の学習への含みを残すのかは難しいところである。けれども，とりあえず小学校教員（理科系でないとしても）の豆知識としては，この事実を理解しておくことは必要だと思うので，授業でも取り上げることにしている。

近似式が転がっていたので，Mathematicaで計算してみた。振れ幅（片側）は30度以下が推奨となる。

k[s_] := Sin[s Degree/2]
t[s_] := 1 + k[s]^2/4 + 9*k[s]^4/64 + 225*k[s]^6/2304
Plot[{1.0, t[s]}, {s, 0, 90}, Frame -> True, GridLines -> Automatic]
Table[{s, "->", t[s]}, {s, 0., 90, 15}]
{{0., "->", 1.}, {15., "->", 1.0043}, {30., "->", 1.01741}, {45., "->", 1.03993}, {60., "->", 1.07281}, {75., "->", 1.11693}, {90., "->", 1.17236}}

 図：振り子の周期の振れ幅（振幅）依存性