日の出から日没までの昼時間の一年における変化は，三角関数になっているはずだと思い込んでいた。秋分から冬至にかけての位相はπ//2で立冬がπ/4だ。そうならば今ごろの日の出時間は午前6時(秋分)と午前7時(当時)の間の1/√2の午前6時40分ごろになるはずだが，実際には午前6時20分ごろ。もしかして，三角関数ではない？
小学校のころ緯度と太陽高度の関係ははさんざん勉強したはずだ。小学校5年生の理科では，春夏秋冬の良く晴れた一日が太陽高度の観察日にあてられた。授業中でも１時間毎に運動場に出て，画用紙をおいた画板に立てた棒の影の長さを記録するのだ。それでも昼の時間が１年でどう変わるかの定量的議論には至らなかった。小学生には計算できません。
図：昼夜時間計算のための座標
地球の自転軸を$z$軸とする$xyz$座標系を考える。$x$軸$\phi$方向すなわち$\bm{s} = (\cos\phi, 0, \sin \phi)_{xyz}$から太陽光線がくるものとする。ただし，公転面に対する自転軸の傾き$\phi_0=23.4^\circ$として，$-\phi_0 \le \phi \le \phi_0$の範囲で振れることになる。
この角度$\phi$は，地球の公転面を$XY$平面とした座標系において，自転軸の方向ベクトル$\bm{a}=(\sin \phi_0, 0, \cos \phi_0)_{XYZ}$と，太陽から見た公転軌道上の地球への方向ベクトル$\bm{t}=(\cos \tau, \sin \tau, 0)_{XYZ}$の内積の角度を$\pi/2$から引いたものになる。つまり，$\sin \phi = \sin \phi_0 \cos \tau$となる。
昼夜時間を求めるために，半径を1とした地球の$xyz$座標系で考える。
太陽入射光線の方向ベクトル$\bm{s}=(\cos\phi,0,\sin\phi)$に垂直な平面と地表面が交わる大円を考えると，大円上の点$(x,y,z)$は$x\cos\phi + z \sin \phi = 0$を満たす。なお，この大円より$x$軸負方向側が夜である。
緯度$\theta$の観測点は，$z=\sin\theta$なので，$x^2+y^2=\cos\theta^2$の小円上にある。さきほどの大円との交点が昼夜分界点となるので，これらの連立方程式を解いて，$(x_b,y_b)$を求めればよい。その結果，$x_b = -\tan\phi \sin\theta,\ \ y_b=\pm \sqrt{\cos^2 \theta-\tan^2 \phi \sin^2 \theta\ \ }$となる。
昼夜分境界点までの角度$\alpha$は，$\tan\alpha = \dfrac{x_b}{y_b} = \dfrac{\tan\phi \tan \theta}{\sqrt{1-\tan^2 \phi \tan^2 \theta\ \ }}$となる。
$\alpha$はラジアン単位なので，$\alpha \cdot \frac{180}{\pi}$で度になおし，さらに $\frac{24}{360}$をかけて，$\alpha \cdot \frac{12}{\pi}$が時間単位の値だ。この2倍が12時間からの夜時間の余剰部分に相当する。
これから夜時間の長さは，$T= 12\Biggl\{1 - \dfrac{2}{\pi} \tan^{-1}\Bigl( \dfrac{\tan\phi \tan \theta}{\sqrt{1-\tan^2 \phi \tan^2 \theta\ }} \Bigr) \Biggr\}$で与えられる。
