布袋戯（プータイシー）

昨日，十三の第七藝術劇場で「台湾，街かどの人形劇」を観てきた。

布袋戯は台湾の民間芸能である指人形劇の一種だ。精巧に造られた木製の頭部や手足部が，布製の袋部の衣裳をまとい，そこに手を入れて操作する。

その布袋戯の第一人者であった李天禄（リ・チェンルー）は，映画監督侯孝賢（ホウ・シャオシェン）の作品のいくつかもに出演している。そして今回，李天禄の長男であり台湾の人間国宝でもある陳錫煌（チェン・シーホァン）のドキュメンタリーを侯孝賢が監修し， 楊力州（ヤン・リージョウ）監督のもとで，映画化されたのが本作品である。

原題は「父」であり，父と子の葛藤をベースにしながら，滅びつつある伝統的な布袋戯の活動が10年に渡って記録されている。それにしても，布袋戯の人形の動きは素晴らしかった。日本の文楽の人形に通ずるものがある。アジアに広く浸透している人形劇の背景文化を土壌として，各地で独特の発展をしているかのように見えてしまう。

［１］李天禄布袋戯文物館

ベクトル解析の図形表現

韓国のソウル大学のグループが，arxivの物理教育の分野（physics.ed-ph）におもしろい論文を載せていた。「Boosting Vector Calculus with the Graphical Notation（図形表現によるベクトル解析のすすめ）」というタイトルだ。

ファインマンダイアグラムに限らず，物理屋さんは図形表現された式をみるとわくわくする。角運動量代数の図形表現は，大学院生の時に見つけて勉強しはじめたけれど，時間がなくて挫折してしまった。テンソル代数に関る図形表現にも様々な流儀があるようだ。

上記論文のイントロダクションだけを訳出してみる。

物理を専攻する学生にとってベクトル解析の習得は最も重要な課題の一つである。しかし，初心者には面倒な添字の扱いに困難を感じることが多いようだ。一方，テンソル代数を直観的に扱って効率的に計算する図形的表現があることが知られている。これは代数計算と同等な記憶コードに相当するものだ。
図形的表現法は，教育的な文脈ではベクトル空間の代数的な扱いについて応用されているが，これを３次元ユークリッド空間のベクトル解析におけるベクトル場の微積分に適用している文献はない。
そこで，物理学専攻の学生と教育者を対象として「ベクトル解析の図形表現」を導入し、その教育学的利点を示し，純粋な数学的な等式と物理学の実用計算の両方を含む十分な演習を提供します。図形表現は教育環境で容易に利用でき，ベクトル解析の学習と実践の障壁を下げるだけでなく，学生に興味を持たせ、ベクトル解析の構文を操作してテンソルの言語を発見的に学習して理解するようになる。

 問題は，LaTeXで簡単に書けないことかもしれない。まったくできないわけではないが。
FreeTikZとか。

膨張する個人と社会の均衡

高橋健太郎が，twitterで「膨張する個人と社会の均衡」について話題にしていた。きっかけは自民党細田派の松川るい（奈良市出身，四天王寺）の典型的な反個人主義的右翼的言論であり，米山隆一や原口一博や菅野完が反論を加えた。しかし，高橋の分析はさらに進んでいる。

SOGI（性的指向=Sexual Orientation・性自認=Gender Identity）や障害者・女性をめぐる問題については，ずいぶん社会的な意識がリベラル側になっている（もちろん日本会議的な反発も強いが）一方で，日本会議的な思想を十全に体現している安倍政権支持率が高い水準を維持していることの矛盾がどうも引っかかって仕方なかった。それを解きほぐす糸口の一つを提示されたような気がする。

高橋健太郎の2019.12.8の一連のツイートを以下に引用する。

「今，RTした三人のツイート，興味深いポイントだ。僕の思うところは，また違うのだが。「膨張する「個人」を抑えられなくなって社会が均衡を失いつつある」ってのは，正しいのではないだろうか。」 

「ただし，それはこれまでフツーにあったはずの「社会規範」が失われ，「社会が均衡を失いつつある」ということだ。法に定めなくても，あったような共同体の規範。あるいは，野間通易がいうところの，「だいたいの正義」でもいい。それが失われてきている。」 

「そうした個人主義の膨張が，価値相対性や新自由主義への道を辿る一方で，社会規範から解放されたいと願い，解放されたかのように感じている個人が，「社会」ならぬ「国家」と添い寝するようになったのが，今の日本の状況ではないだろうか。」 

「「膨張する個人」は，身近にあった社会規範を嫌う一方で，肉屋が好きな豚のように，国家によるコントロールなら喜んで受け入れるし，そこに同化して，他者をコントロールすることに快楽さえ見出している。そんな光景を見ているように思うのだよね，僕は。」 

「モリカケサクラもつまりは，これまでフツーにあったはずの社会規範，法に定めずともあったような共同体の規範，当たり前の正義だったり，人としての道だったりするものが，政府の中枢で完全に失われ，国家がいいように私物化されている図な訳でしょ。」 

「その意味では，安倍晋三は社会規範から解放されたいと願う「膨張する個人」の権化であり，写し鏡なんだよ。自分の力が及ぶスモール・ワールドでは，同じように振る舞いたいと思っている人々の。」 

「だから，彼らはモリカケサクラを前にしても，糾弾するどころか喝采を送り，安倍と同化して，フツーの社会規範，当たり前の正義を求める側こそを叩くわけだ。それこそ，「膨張する「個人」を抑えられなくなって社会が均衡を失いつつある」光景だよ。」

大阪での維新勢力の跋扈も全く同根であるように見える。そこには利権の顔を隠すためのうっすらと反権力的なニセ化粧さえ施されている。そして，共同体を支えてきたのが，主体的な個人間の万有引力ではなく，権威主義的な殻による社会的な斥力だったことも話を複雑化している。維新に攻撃されている学校や行政には確かに大阪人の反発を招く種もなかったとはいえない。

１２月８日（Blogger １周年）

昨年の今日，真珠湾攻撃から77年の日にこのブログを始めた。それからちょうど１年たった。途中で２回ほどお休み期間があったが，ほぼ毎日１本の記事を書いてきた。ときどき２，３日遅れになったこともあるけれど，なんとか脱落せずに続けている。

このブログの目的は，自己顕示欲の発露ということもある。統計をみれば，全期間のページビュー（PV）は4876になっているが，これは自分の分も含んでいる。参照元URL別PVが841（テイルが欠損），参照元サイト別PVが998なので，こちらがアクセス数に対応しているだろう。t.coからのアクセス（563PV）はツイッターに出したものの短縮URLだと思われる。これにm.facebook.com（202PV）やwww.osaka-kyoiku.ac.jp（159PV）が続いている。１日平均2.7PVなので，まったく顕示にはなっていない。

最もアクセスが多かったのが，自分でデータを整理した「児童・生徒の自殺（2019/10/19）」で776PV，これに続くのは「台風の運動エネルギー（2019/10/15）」の47PVでぐっと少なくなる。twitterでアナウンスすると20PV程度にはなる。

もう一つの目的は，記憶の保存や，認知症の予防だ。たぶん自分が何を考えていたのかをどんどん忘れてゆき，憶えられず思い出せない時代がくる。もしかすると自分の書いたものを理解することすらできなくなるかもしれない。それまで続けるということはアルジャーノンの日記ではないか。普通の日記ではなく，本来のブログの意味に近いものではあると思うが。

1995年に自分のホームページを始めたが，2000年初頭のブログブームには乗らなかった。それでも，2010年5月にはこのBloggerのアカウントを作っている。twitterのアカウントを作ったのは，はじめてiPhoneを買った2008年の8月なので，それよりも遅い。Bloggerの方はその後ずっと放置してきたが，年賀状をやめるときにその代替としてアナウンスする必要があったため，12月8日というタイミングで始めたのだった。

3.11のトラウマと現実否認の政治

石田英敬さんは，1953年生まれの東大名誉教授だけれど，自分とは知性のレベルが違うなあ。彼のtwitterで，安倍政権への興味深い見方が示されていた。後学のため引用しておく。

私の答え、その３：「いろいろ考えてきたんだが、私の答えは、いまの日本は、〈2011.3.11〉のトラウマから説明するのが一番分かりやすい、というもの。あの大地震、津波、原発事故のショック下に日本人たちは今もまだいるんだ。」 

「それで、日本人たちの半分ぐらいに、精神分析のいう、le déni de réalité の反応を引き起こした。現実を否認して出来事は全くなかったかのごとく暮らすように決めた。それで、あの出来事はまるで夢のなかで起こった出来事であったかのように、悪夢のように忘れさることに決めたのさ。」 

「そこに入り込んだのが、アベとその一味による今のアベ政権だというわけだ。3.11はとっても好都合なことに、たまたま野党がごくまれに政権についていたときに偶然起こった。災害の準備を怠ったのも原発を始めたのもあらゆる対策をネグッたのも全部自民党政権だったのにね。」 

「それで、あの出来事全体の一切合切をアベたちは全部野党のせいにすることにした。すべての現実を否認して、他者に責任を転嫁することにした。そして、あの出来事の自分たちの責任と影響をすべて否認することにした。」 

「それだけじゃなく、今の日本は世界から落伍していきつつあるし、経済もうまく行っていないし、人口を激減で衰退がせまっているのに、そんなことはいっさいない、というストーリーを組み立てることにした。お金も狸の葉っぱみたいに刷り続けて見せかけだけは株価をつりあげて経済もうまくいってる」 

「ように見せかけることにした。すべてを「現実の否認」の政治で塗り込めるようにした。それが、あのアベという男の長期政権なのさ。ウソを基調にした、ポスト・トゥルースの政治なのさ。」

［１］ NULPTYX.COM 石田英敬のブログ

記述式問題見直しへ

大学入学共通テストの記述式問題について，与党公明党から延期・見直しの提言が萩生田文部科学大臣に届けられ，延期の可能性が高まってきた。柴山前文部科学大臣も「（国・数の記述式試験延期の可能性について）これは現場の状況をきちんと確認して、受験生に不利益が起きないようにすることが最優先だ」と言い出す始末である。なんなのだろう。

安倍・菅への向かい風が強くて，下村博文とその仲間たちをかばう余裕がなくなっているということか。

英語民間試験のほうも含め，まだまだ予断を許さない。延期で時間をかけることにより周到でよけいに面倒なシステムが導入されかねない。高大接続改革の御旗のもと，民営化まっしぐらをめざそうという取り巻きはごまんといるのだから。鈴木寛とか。

［１］2019.11.3 民間試験導入としての記述式問題
［２］2019.7.7 記述式問題の問題
［３］2019.7.6 大学入学共通テストの採点

不正・忖度・虚偽・隠蔽

ちっとも回転しないPDCAサイクルの欺瞞性は最近では良く知られるようになった。
一方，不正・忖度・虚偽・隠蔽のCCCCサイクル（Corruption-Conjecture-Chicanery-Concealment）は季節外れの桜吹雪をまき散らしながら高速回転している。

PISA2018

OECD生徒の学習到達度調査（PISA）は３年ごとに本調査が実施されている。このほど，PISA2018の結果が公表された。利害関係者の皆様は，戦々恐々としてこの餌に飛びつこうとしている。長期トレンドは平坦でありあまり変わっていないというのが結論のはずだが，変化分を強調して見たい向きからすれば，読解力が落ちたというのがセールスポイントになるのだろう。

読解力に関しては，６段階のレベルの上位層は前回とあまり変わらないが，中位層が減って，下位層が増えているようだ。「評価し，熟考する」能力については、2009年調査結果と比較すると，平均得点が低下しており，特に，2018 年調査から追加された「質と信ぴょう性を評価する」「矛盾を見つけて対処する」の正答率が低かった。とのことであり，そりゃあ桜を見る会を巡るこの間のグダグダな日本のマスコミと政府を見ていれば宜なるかなだろう。

一部コンピュータ型調査であることと学校におけるコンピュータ使用率の低さと絡めた議論にしたがる勢力もありそうだが，それはそれ，これはこれ。むしろスマートフォンによる断片的コミュニケーションや離散的情報取得に完全に適応しているネイティブICT人類についての分析の方が必要なのではないだろうか。

蛙飛び法

ファインマン物理学の第Ｉ巻の第９章に蛙跳び法による運動のシミュレーションが取り上げられている。バネの運動の場合，運動方程式は，$m \ddot{x} = -k x$であるが，これを$\dot{x}=v$と$\dot{v}= -k/m x = -\lambda x$としてオイラー法を適用する。$\epsilon=t_{n+1}-t_n, \ f_n=f(t_n)$などとして，
前進差分は，
\begin{equation}
\begin{aligned}
x_{n+1}=x_{n}+\epsilon v_{n}\\
v_{n+1}=v_{n}- \lambda \epsilon x_{n}
\end{aligned}
\end{equation}
後退差分は，
\begin{equation}
\begin{aligned}
x_{n+1}=x_{n}+\epsilon v_{n+1}\\
v_{n+1}=v_{n}- \lambda \epsilon x_{n+1}
\end{aligned}
\end{equation}
中心差分は，
\begin{equation}
\begin{aligned}
x_{n+1}=x_{n-1}+2\epsilon v_{n}\\
v_{n+1}=v_{n-1}- 2\lambda \epsilon x_{n}
\end{aligned}
\end{equation}
中心差分の片方をずらすと蛙跳び法の表式が得られる。
\begin{equation}
\begin{aligned}
x_{n+2}=x_{n}+2\epsilon v_{n+1}\\
v_{n+1}=v_{n-1}- 2\lambda \epsilon x_{n}
\end{aligned}
\end{equation}
一方，前進差分と後退差分は，次のように表せる。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}x_{n+1} \\ v_{n+1}\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix} 1 & \epsilon \\ - \lambda \epsilon & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_{n} \\ v_{n}\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} 1 & -\epsilon \\ \lambda \epsilon & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_{n+1} \\ v_{n+1}\end{pmatrix}
&= \begin{pmatrix}x_{n} \\ v_{n}\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}
陰解法となっている後退差分を解いて$ o(\epsilon^2)$まで考えると，
\begin{equation}
\begin{pmatrix}x_{n+1} \\ v_{n+1}\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{1+\lambda \epsilon^2} & \epsilon \\
-\lambda \epsilon &  \dfrac{1}{1+\lambda \epsilon^2}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_{n} \\ v_{n}\end{pmatrix}
\end{equation}
前進差分と後退差分の平均をとると，中心差分に相当するものが得られる。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}x_{n+1} \\ v_{n+1}\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1 - \lambda \epsilon^2 /2 & \epsilon \\
-\lambda \epsilon &  1 -\lambda \epsilon^2 /2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_{n} \\ v_{n}\end{pmatrix}
\end{equation}

大仏迴国

京都みなみ会館に典座を見に行く途中の近鉄電車内で検索作業中の妻に，大仏迴国という映画もやっているようだよ，と教えてもらった。典座の方は昨夜みた評判にちょっと不安があったので，私だけあわててそちらに切り替えた。近所のル・ブランで昼食をすませ，新装されたみなみ会館の１Ｆで開始までの時間待ち。

あとで調べたところ，京都みなみ会館は怪獣映画の聖地とよばれていたそうだ。それならば，日本の怪獣映画の原点としての大仏迴国リメイクが上映されている意味も大きい。ところで，そのリメイクは残念ながらリメイクではなかった。なんといえばいいか。よくわかりませんでした。宝田明，久保明，小林夕岐子，螢雪次朗は日本の怪獣映画のオマージュということらしい。大槻義彦とたま出版の韮澤潤一郎の対談もその派生物か。製作費が300万円なので，立ち上がった聚楽園大仏（じゃないのか，茨城県の大仏だった）のＣＧもかなり制限されていた。脚本はまあ支離滅裂といったところだろうか。よくわからないがオカルト風味と東京の地震の終末感風味で終わってしまった。

P. S. 典座のほうもちょっと残念だったようだ。

アドベントカレンダー

さあ12月，師走がやってきた。アドベントカレンダーの季節だ。12月1日からはじまり，クリスマスまでの毎日（24日または25日）をカウントダウンする目的のカレンダーのことだが，インターネット上ではプログラミングや様々なテーマについてのブログを毎日書いていくというものだ。Qiita Advent Calendar 209には702テーマがあり，参加者も1万人を越えている。アドベントカレンダーを作れるサイトとしては，Adventar などもある。これはちょっと一覧性に欠けているが，仲間内だけにサーキュレートするためならこれで十分なのか。数理物理 Adventar Calendar 2019 とか。日曜数学 Advent Calendar 2019 とか。数値計算 Advent Calendar 2019とか。

楕円軌道と内心の軌跡

楕円の軌跡は焦点からの線分の長さの和が一定という条件で描くことができる。楕円の長半径を$a$，短半径を$b$，焦点の座標を${\rm O}_1=(-c,0)$，${\rm O}_2=(c,0)$，楕円上の点Pの座標を$(x,y)$とする。例えば，$\ell_1={\rm O}_1{\rm P}$，$\ell_2={\rm O}_2{\rm P}$として，$\ell_1+\ell_2=2 a$と一定となる。

このとき，三角形${\rm O}_1{\rm O}_2 P$の内心（内接円の中心）Qの軌跡はどんな図形を描くだろうか。twitterでアニメーションをみかけたが，楕円に見えたので確かめてみよう。点Ｐは次の楕円の方程式の上を動く。
\begin{equation}
\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad a^2=b^2+c^2
\end{equation}
このとき，$\ell_1, \ell_2$を求めてみる。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\ell_1 &= \sqrt{ (x+c)^2 + y^2 } = \sqrt{(x+c)^2 + b^2 (1 - (x/a)^2 ) }\\
&= \sqrt{(x+c)^2 + (1-c^2/a^2) (a^2 - x^2) } = a + \dfrac{c x}{a}\\
\ell_2 &= \sqrt{ (x-c)^2 + y^2 } = \sqrt{(x-c)^2 + b^2 (1 - (x/a)^2 ) } \\
&= \sqrt{(x-c)^2 + (1-c^2/a^2) (a^2 - x^2) } = a - \dfrac{c x}{a}
\end{aligned}
\end{equation}
次に，内心Qの座標を，$(p,q)$とする。$q$は内接円の半径と等しい。三角形の内接円の半径$r$は，三角形の面積$S$と$2S=(\ell_1+\ell_2+2c) r$の関係がある。ヘロンの公式より，
\begin{equation}
\begin{aligned}
s &= (\ell_1+\ell_2+2c)/2 = a+c \\
S &=\sqrt{s(s-2c)(s-\ell_1)(s-\ell_2)}=\sqrt{(a+c)(a-c)(c - c x/a)(c + c x/a)}\\
\therefore q &= r= \dfrac{S}{a+c}=c\sqrt{\frac{a-c}{a+c}(1-x^2/a^2)}= \dfrac{c y}{b}\sqrt{\frac{a-c}{a+c}}\equiv  \dfrac{c\ y\ \varepsilon}{b}
\end{aligned}
\end{equation}
また，角${\rm PO_1 O_2}=\phi$，角${\rm PO_2 O_1}=\theta$とすると，余弦定理から，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\cos\phi = \dfrac{\ell_1^2+(2c)^2-\ell_2^2}{4\ell_1 c}=\dfrac{x+c}{\ell_1}\\
\cos\theta = \dfrac{\ell_2^2+(2c)^2-\ell_1^2}{4\ell_1 c}=\dfrac{c-x}{\ell_2}
\end{aligned}
\end{equation}
内心の性質から，角${\rm QO_1 O_2}=\phi/2$，角${\rm QO_2 O_1}=\theta/2$であり，半角の公式から，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\tan{\frac{\phi}{2}} &=\sqrt{\dfrac{1-\cos\phi}{1+\cos\phi}} =\sqrt{\dfrac{\ell_1-(x+c)}{\ell_1+(x+c)} }\\
&=\sqrt{\dfrac{a+cx/a-(x+c)}{a+cx/a+(x+c)}} = \varepsilon \sqrt{\dfrac{a-x}{a+x}}\\
\tan{\frac{\theta}{2}} &=\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}=\sqrt{\dfrac{\ell_2-(c-x)}{\ell_2+(c-x)} }\\
&=\sqrt{\dfrac{a-cx/a-(c-x)}{a-cx/a+(c-x)}} = \varepsilon \sqrt{\dfrac{a+x}{a-x}}\\
\end{aligned}
\end{equation}
${\rm O_1}$から角度$\phi/2$で望む内心Qのy座標が，${\rm O_2}$から角度$\theta/2$で望むものと等しいことから，
\begin{equation}
\begin{aligned}
(p+c) \tan \dfrac{\phi}{2} &= (c-p) \tan \dfrac{\theta}{2} \\
p \bigl( \tan \dfrac{\phi}{2} +  \tan \dfrac{\theta}{2} \bigr) &= c \bigl(  \tan \dfrac{\theta}{2} - \tan \dfrac{\phi}{2} \bigr) \\
p \varepsilon \Bigl( \sqrt{\dfrac{a-x}{a+x}} + \sqrt{\dfrac{a+x}{a-x}} \Bigr)
& = c \varepsilon  \Bigl( \sqrt{\dfrac{a+x}{a-x}} - \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \Bigr) \\
2 a p \varepsilon &= 2 x c \varepsilon\\
\therefore p &= \dfrac{c}{a} x
\end{aligned}
\end{equation}
これから，内心Ｑの満足する軌跡の方程式は，Pが描く楕円の軌跡の式を用いて以下のように求まった。
\begin{equation}
\dfrac{p^2}{c^2} + \dfrac{q^2}{(c \varepsilon)^2} = 1
\end{equation}

図　楕円の軌跡（青）と内心の軌跡（赤）

公転速度と公転周期

万有引力定数は，G=6.7 × 10^-11 m ^3 kg^-1 s^-2 である。高等学校の物理の教科書にのっているように，質量 M kg の天体の周りを質量 m kg の天体が速さ v m/s の速度で半径 R m の等速円運動するとき，$ \dfrac{G M m }{R^2} = \dfrac{m v^2}{R}$ から，$ v= \sqrt{\dfrac{GM}{R}} $，周期は$ T = \dfrac{2 \pi R }{v}$であった。これで，ブラックホール（BH）のまわりの"惑星"の公転速度と公転周期が求まる。だからどうしたといわれても。

地球−月（M = 6.0 × 10^24 kg, R = 3.8 × 10^8 m）→（v= 1 km/s, T= 0.76 y）
太陽−地球（M = 2.0 × 10^30 kg, R = 1.5 × 10^11 m）→（v= 30 km/s, T= 1.0 y）
銀河中心-太陽（M = 2.2 × 10^41 kg，R= 2.6 × 10^20 m）→（v= 240 km/s, T= 2.0 × 10^8 y）
BH−"惑星"（M = 8.2 × 10^36 kg，R = 1.0 ×10^17 m）→（v=74 km/s, T=2.7 × 10^5 y）

［１］国立天文台，最新の観測による銀河中心〜太陽系の距離や回転速度を発表
［２］超大質量ブラックホール（Wikipedia）

ブラックホールの周りの惑星

物理ではなかなかびっくりする話がない。いや，あるのだが，驚嘆するためにはそれなりの基礎知識が必要なのでたいへんだ。数学でもそうかもしれない。その意味では望月新一さんのIUTはとても大きなトピックだった。一方，天文学では結構な頻度で，驚きのニュースが飛び込んでくるような気がする。最近のそれは，ブラックホールの周りの惑星だ。

ブラックホールの周りには降着円盤があることは，福江先生の得意分野でもあるので知っていた。そこに原始太陽系の形成モデルのシミュレーションを適用すると，銀河中心にあるような太陽の1000万倍の質量を持つ巨大ブラックホールのまわりのミクロな塵から，数億年をかけて，ブラックホール中心から10光年ほどのところに，地球質量の10倍程度の惑星が１万個以上形成されるというものだ。となりの惑星との距離は0.1光年のオーダーかな。生命が誕生するような熱源は確保できるのだろうか。ＳＦ作家の夢が広がるだろうか。

［１］K. Wada, Y. Tsukamoto and E. Kokubo,  Planet Formation around Supermassive Black Holes in the Active Galactic Nuclei（2019.11.26）

児童生徒１人１台ＰＣ

11月13日の経済財政諮問会議で，経済対策（未来投資）として義務教育の児童生徒１人１台のPCを配備するという考えが示された。経済再生担当大臣の西村康稔は，1995年から1997年にかけて通産省からの出向で石川県の商工課長を務めていた。そのころ父が亡くなり，葬儀後の挨拶で県庁もまわった際に名刺だけを置いてきた。西村は2003年に衆議院議員になったが，その前後からしばらく後援会からの案内が届いていたことがあった。選挙区は離れているのであまり効果はないと思うのだが，とりあえず関西圏なので。

さて，児童生徒１人１台PCに話を戻す。これが，小学校５年生から中学３年生までとなると，小学校 5, 6 年が 213万人程度，中学校1, 2, 3 年が 322万人なので，合計540万人。現在あるPCの普及率は 5.4 人に1台なので，人数として現有のもので必要数の 19% 程度がカバーされているとするなら，540万 × 81%で 440万台新たに必要になる（現有機器がデスクトップならばもっと必要かもしれない）。１台10万円として，4400億円だ（いつまでに実行するのだろう？）。その後，更新を続けるとすれば，毎年数百億円が必要になる。で，これを学校で管理できるのだろうか。活用できるのだろうか。どこかでBOYDにスライドできるのだろうか。謎は深まるが，あまりまともな制度設計がされることは期待できないように思う。

P. S. 読売新聞によると，2022年までに小５〜中３，2024年までに小１〜小４という説もあるようだ。

P. P. S. 12/3 PISA2018結果発表を前に，日経新聞によると2023年が目標年度であり，5000億円を児童生徒１人１台のPCまたはタブレットにつっこむそうだ。初年度は1500億円とか。南無阿弥陀仏。

山羊問題

山羊問題（Goat Problem）は次のような問題である。中心Ａ，半径$r=1$の草の生えた円形の土地Ｓがある。その周の１点Ｏから長さ$a$のヒモにつながれた山羊を放し飼いにすると，Ｓのうち，半径$a$のOを中心とし半径$a$の円内の草が食べられてしまう。その面積がＳの半分になるようなヒモの長さ$a$はいくらか？図形はOAを結ぶ線に対称なので，半分だけ考えてみよう。

図　山羊問題

山羊が食べた草地の面積は，扇型O-BP+扇型A-OP-三角形AOPであり，これが$\pi r^2/4$になればよい。角POA=$\phi$とすると，角PAO=$\pi-2\phi$である。これを式で表すと，

\begin{equation}
\begin{aligned}
\dfrac{\pi r^2}{4} &= \dfrac{r^2}{2}(\pi - 2 \phi) + \dfrac{a^2}{2} \phi - \dfrac{r^2}{2} \sin 2 \phi \\
a &= 2 r \cos \phi
\end{aligned}
\end{equation}
したがって，
\begin{equation}
4 \phi \cos^2 \phi = \sin 2 \phi +2 \phi -\dfrac{\pi}{2}
\end{equation}
これをMathematicaで解くと，$a/r = 1.15873$となった。
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
In[1]:= Clear[x]; sol1 = FindRoot[4 Cos[x]^2  x == Sin[2 x] + 2 x - Pi/2, {x, 1}]; x = x /. sol1
Out[1]= 0.952848
In[2]:= a = 2 Cos[x]
Out[2]= 1.15873
In[3]:= Clear[x]; sol2 = FindRoot[Sqrt[1 - (x - 1)^2] == Sqrt[a^2 - x^2], {x, 1}]; b = x /. sol2
Out[3]= 0.671326
In[4]:= c = NIntegrate[Sqrt[1 - (x - 1)^2], {x, 0, b}] + NIntegrate[Sqrt[a^2 - x^2], {x, b, a}]
Out[4]= 0.785398

In[5]:= g1 = Plot[{Sqrt[a^2 - x^2], Sqrt[1 - (x - 1)^2],
   Sqrt[a^2 - b^2]/b x, -Sqrt[a^2 - b^2]/(a - b) (x - a), -Sqrt[a^2 - b^2]/(1 - b) (x - 1)}, {x, 0, 2},
  AspectRatio -> Automatic, PlotStyle -> {, , Dashed, Dashed, Dotted}, PlotRange -> {0, 1.2}]
In[6]:= g2 = Graphics[{Text[O, {0.05, 0.03}], Text[A, {0.95, 0.03}],
   Text[B, {1.20, 0.03}], Text[P, {0.69, 1.0}]}];
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パラメータ励振（５）

（パラメータ励振（４）からの続き）

\begin{equation}
\begin{aligned}
\ddot{x}+\dfrac{g-\ddot{\ell}}{\ell}x &= 0\\
\ell &= \ell_0(1-\epsilon \cos(\omega t + \delta))\\
g/\ell_0 &= \omega_0^2\\
\end{aligned}
\end{equation}
このブランコのモデルで，エネルギーが励振項から供給される様子を調べてみる。
微分方程式を変形すると次のようになる。
\begin{equation}
\ddot{x}+\omega_0^2 x = - \epsilon(\omega_0^2-\omega^2) \cos (\omega t + \delta ) x
\end{equation}
$\dot{x}$を微分方程式の両辺にかけると，
\begin{equation}
\dot{x} \ddot{x}+\omega_0^2 \dot{x} x = - \epsilon(\omega_0^2-\omega^2) \cos (\omega t + \delta ) \dot{x} x
\end{equation}
したがって，
\begin{equation}
\dfrac{d}{dt} (\dot{x}^2+\omega_0^2  x^2 )  = - \epsilon(\omega_0^2-\omega^2) \cos (\omega t + \delta ) \dot{x} x \equiv {\rm R}
\end{equation}
つまり，左辺は運動エネルギー＋位置エネルギーの微分となるため，右辺がこれに対するエネルギーソースの働きをしている。そこで，右辺Rの符号を調べる。

ここで，$\omega=2\omega_0, \lambda = \dfrac{-3\epsilon \omega_0^2}{4\pi} < 0$とする。また，$\delta =(0, \pi/2, \pi, 3\pi/2)$に対して，$\varphi = (\pi/4, \pi/2, \pi/4, 0)$に注意する。
\begin{equation}
\begin{aligned}
x &= C_1 e^{\lambda t} \cos(\omega_0 t + \varphi) + C_2 e^{-\lambda t} \sin (\omega_0 t + \varphi)\\
\dot{x} &= \lambda \{ C_1 e^{\lambda t} \cos(\omega_0 t + \varphi) - C_2 e^{-\lambda t} \sin (\omega_0 t + \varphi) \} \\
&+\omega_0 \{ -C_1 e^{\lambda t} \sin(\omega_0 t + \varphi) + C_2 e^{-\lambda t} \cos (\omega_0 t + \varphi) \}
\end{aligned}
\end{equation}
初期条件として，$x(0)=c >0, \dot{x}(0)=0$とする。
\begin{equation}
\begin{aligned}
c &= C_1  \cos \varphi + C_2 \sin \varphi\\
0 &= \lambda \{ C_1 \cos \varphi - C_2 \sin \varphi \} \\
&+\omega_0 \{ -C_1 \sin \varphi + C_2 \cos \varphi \}
\end{aligned}
\end{equation}
これを解いて，
\begin{equation}
\begin{aligned}
C_1 &= c \dfrac{\lambda \sin \varphi - \omega_0 \cos \varphi}{\lambda \sin 2\varphi -\omega_0}\\
C_2 &= c \dfrac{\lambda \cos \varphi - \omega_0 \sin \varphi}{\lambda \sin 2\varphi -\omega_0}
\end{aligned}
\end{equation}
近似解は，$x(t)=c cos(\omega_0 t)$であるから，$\dot{x} \ x = -\dfrac{c^2}{2} \sin(2\omega_0 t) $ である。したがって，$\delta=\pi/2の場合$
\begin{equation}
{\rm R}= \epsilon(\omega_0^2-\omega^2) \cos (2\omega_0 t + \delta ) \dfrac{c^2}{2} \sin(2 \omega_0 t) = \dfrac{3 \omega_0^2 c^2}{2} \sin^2 (2\omega_0 t) > 0
\end{equation}
となって，エネルギーが増加することがわかる。また，$\delta = 3\pi/2$では符号が逆転する。

パラメータ励振（４）

以下のブランコのモデルに対する解析的な近似解を考える。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\ddot{x}+\dfrac{g-\ddot{\ell}}{\ell}x &= 0\\
\ell &= \ell_0(1-\epsilon \cos(\omega t + \delta))\\
g/\ell_0 &= \omega_0^2\\
\end{aligned}
\end{equation}
もとの微分方程式を $x(t), y(t)$ の１階連立微分方程式の形に表す。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{x} &= y\\
\dot{y} &= -\{\omega_0^2+\epsilon(\omega_0^2-\omega^2)\ \cos(\omega t + \delta)\}\ x
\end{aligned}
\end{equation}
ここで，$x=a(t) \cos (\omega_0 t + \phi(t)), y= -a \omega_0 \sin (\omega_0 t + \phi(t))$とおいて，
上の連立微分方程式を$a(t), \phi(t) $の連立微分方程式に書き直す。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{a} \cos (\omega_0 t + \phi) -a \dot{\phi} \sin (\omega_0 t + \phi) &= 0\\
\dot{a} \sin (\omega_0 t + \phi) +a \dot{\phi} \cos (\omega_0 t + \phi) &= \dfrac{ \epsilon(\omega_0^2-\omega^2)}{\omega_0}\ \cos(\omega t + \delta) a \cos(\omega_0 t + \phi )\\
\end{aligned}
\end{equation}
整理すると次のような２式となる。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{a} &= \dfrac{ \epsilon(\omega_0^2-\omega^2)}{2\omega_0}\
\cos(\omega t + \delta) \sin(2 \omega_0 t + 2 \phi ) \ a \\
\dot{\phi} &= \dfrac{ \epsilon(\omega_0^2-\omega^2)}{2\omega_0}\
\cos(\omega t + \delta) \{ 1 + \cos(2 \omega_0 t + 2 \phi ) \} \\
\end{aligned}
\end{equation}
ここで，$\omega = 2 \omega_0$とし，$a(t),\phi(t)$の時間変化が緩いとして上式の右辺を$t=0$から周期$T=2 \pi/\omega$まで時間で積分した量を周期で割った量で置き換える。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{a}  &= \dfrac{\omega}{2\pi} \int_0^{2\pi/\omega} \dfrac{\epsilon (\omega_0^2-\omega^2)}{2 \omega_0} \cos(\omega t + \delta) \sin(2 \omega_0 t + 2 \phi ) \ a dt\\
\dot{\phi} &=  \dfrac{\omega}{2\pi} \int_0^{2\pi/\omega} \dfrac{\epsilon (\omega_0^2-\omega^2)}{2 \omega_0} \cos(\omega t + \delta) \{ 1 + \cos(2 \omega_0 t + 2 \phi ) \} dt
\end{aligned}
\end{equation}
このようにして平均化された$\dot{a},\dot{\phi}$に対して次式が成り立つ。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\lambda &= \dfrac{\omega}{2\pi}\dfrac{\epsilon (\omega_0^2-\omega^2)}{4 \omega_0}\\
\dot{a} &= - \lambda \sin (\delta - 2 \phi) \ a \\
\dot{\phi} &= \lambda \cos (\delta - 2 \phi) \\
\end{aligned}
\end{equation}
さらに，$u=a \cos \phi, v= a \sin \phi$と置き上式を代入して加法定理を用い，さらに整理すると，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{u} &= \dot{a} \cos \phi - a \dot{\phi} \sin \phi = -\lambda a \sin (\delta - \phi)
= -\lambda (u \sin \delta - v \cos \delta)\\
\dot{v} &= \dot{a} \sin \phi + a \dot{\phi} \cos \phi = \lambda a \cos (\delta - \phi)
= \lambda (u \cos \delta + v \sin \delta)
\end{aligned}
\end{equation}
結局，
\begin{equation}
\dfrac{d}{dt}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}
= \lambda \begin{pmatrix} - \sin \delta & \cos \delta \\ \cos \delta & \sin \delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}
\end{equation}
さらに，$(u,v)=(A,B)e^{p \lambda t}$と置くと，
\begin{equation}
\begin{pmatrix} p+ \sin \delta & -\cos \delta \\ -\cos \delta & p-\sin \delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}=0
\end{equation}
自明でない解を持つ条件から，$p^2-\sin^2 \delta -\cos^2 \delta =0$より，$p=\pm 1$
$p=1$の場合
\begin{equation}
(1+\sin \delta)A -\cos\delta B=0 \quad \therefore (A,B)=(\sqrt{\dfrac{1-\sin \delta}{2}}, \sqrt{\dfrac{1+\sin \delta}{2}})\\
a=e^{\lambda t}, \quad \cos\phi = \sqrt{\dfrac{1-\sin \delta}{2}}, \quad \sin \phi = \sqrt{\dfrac{1+\sin \delta}{2}}
\end{equation}
$p=-1$の場合
\begin{equation}
(-1+\sin \delta)A -\cos\delta B=0 \quad \therefore (A,B)=(\sqrt{\dfrac{1+\sin \delta}{2}},
-\sqrt{\dfrac{1-\sin \delta}{2}})\\
a=e^{-\lambda t}, \quad \cos\phi = \sqrt{\dfrac{1+\sin \delta}{2}}, \quad \sin \phi =
 -\sqrt{\dfrac{1-\sin \delta}{2}}
\end{equation}
したがって，$x=a \cos (\omega_0 t + \phi)$の一般解は，２つのモードの重ね合わせとして表現される。
\begin{equation}
x(t)=\ell(t) \theta(t) =  C_1 e^{\lambda t} \cos (\omega_0 t+ \varphi)
+ C_2 e^{-\lambda t} \sin (\omega_0 t+ \varphi)\\
\varphi = \tan^{-1}\sqrt{\dfrac{1+\sin \delta}{1-\sin \delta}}
\end{equation}
$\omega = 2\omega_0$としたので，$\lambda = -\dfrac{3 \epsilon \omega_0^2}{4 \pi} < 0$である。$\delta=\pi/2$の場合，指数関数的に増大する項は，$C_2 e^{-\lambda t} \cos(\omega_0 t)$という形になる。

参考文献
［１］対話・非線形振動（楽しい物理ノート KENZOU）
［２］Parametirc Oscillator（Wikipedia en:）

パラメータ励振（３）

ブランコのモデルでは，重心の位置が振動の両端で最も高くなるのが良いのだと思い込んでいた。そのため，前回のモデルでは，$\epsilon=a/\ell_0 > 0$として，$\ell=\ell_0 (1-\epsilon \cos \omega t)$と考えた。つまり，$t=0$と$t=2\pi/\omega$で，$\ell=\ell_0 (1-\epsilon)$と重心が高くなり，$t=\pi/\omega$で，$\ell=\ell_0 (1+\epsilon)$と重心が低くなるわけだ。

しかし，どうやらそうではなかった。$\ell=\ell_0 (1-\epsilon \cos (\omega t + \pi/2))$のときに，最も励振が大きくなるのだ。前半の1/4周期に重心の落ちる速度が正，後半の1/4周期に重心の落ちる速度が負になるような運動の場合で，こちらの方が実際のブランコの漕ぎ方に直感的に一致しているような気がする。

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
d = Pi/2; e = 0.05; w0 = Pi; w = 2 w0;
Table[sol[i] = NDSolve[{x''[t] +
       2 e w Sin[w t + d*i] /(1 - e Cos[w  t + d*i]) x'[t] +
       w0^2/(1 - e Cos[w t + d*i]) x[t] == 0, x[0] == 0.1,
     x'[0] == 0}, x, {t, 0, 150}], {i, 0, 3}];
f[i_, t_] := x[t] /. sol[i][[1]]
Plot[Evaluate@Table[f[i, t], {i, 0, 3}], {t, 0, 10},
PlotRange -> {-0.4, 0.4}, PlotStyle -> {Red, Gray, Blue, Black}]

#

# 振幅をPi/4に強調した重心の軌跡

g1=ParametricPlot[ Evaluate@Table[{(1 - e Cos[w  t + d0*i]) Cos[w0 t], -(1 - e Cos[w  t + d0*i]) Sin[w0 t]}, {i, 0, 3}], {t, 0, 2 Pi/w}, PlotStyle -> {Red, Gray, Blue, Black},
  PlotRange -> {{-0.8, 0.8}, {-1.2, 0}}]
g2 = Plot[-Abs[x], {x, -1/Sqrt[2], 1/Sqrt[2]},   PlotRange -> {{-0.8, 0.8}, {-1.2, 0}}]
Show[g1,g2]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 図　パラメタ励振（支点と重心の距離は $\ell_0(1-\epsilon \cos (2 \omega_0 t + d)$ ）

図　パラメタ励振（位相d = 0赤，Pi/2灰，Pi青，3Pi/2黒）

パラメータ励振（２）

ブランコのパラメータ励振単振子モデルをMathematicaで解いてみる。
$\epsilon = a / \ell_0$は，重心の上下振幅$a$ともとの振り子の長さ$\ell_0$の比であり，$\omega_0= \sqrt{g/\ell_0}$は重心が動かない場合の振り子の固有角振動数だ。
\begin{equation*}
\ddot{\phi} + \epsilon \sin \omega t \ \dot{\phi}  + \omega_0^2 (1+\epsilon \cos\omega t) \phi = 0
\end{equation*}
重心の上下振動の振動数を振り子の振動数の２倍にしたときに励振が起こる。
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
e = 0.05; w0 = 3; w = 2 w0;
sol = NDSolve[{x''[t] + 2 e w Sin[w t] x'[t] 
    + w0^2 (1 + e Cos[w t]) x[t] == 0,
    x[0] == 0.1, x'[0] == 0}, x, {t, 0, 30}];
f[t_] := x[t] /. sol[[1]]
Plot[f[t], {t, 0, 20}]
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

図　パラメータ励振の数値計算例