SIRモデルとK値（１）

ゴンペルツ関数からの続き

（復習）

(1) 阪大の中野らは，新型コロナウイルス感染症が拡大する時期の指標としてK値を導入し，その勾配がある範囲で一定になることをみつけた（ここまではOK）。さらにこれが普遍的な現象であると主張した（これはどうよ）。

(2) 東工大の秋山は，中野のモデルを数理的に解析してK値の定性的な振る舞いがゴンペルツ関数で表現されることを導いた。さらに，K=0.5におけるK値の勾配の式が中野モデルと一致することを示した（これは大丈夫）。

(3) 京大基研の大西らは，感染者数の増大の単純な微分方程式で，係数を指数関数にとることにより，感染者数やＫ値がゴンペルツ関数で表現されることを示した（これも大丈夫）。さらに，各国の感染拡大期の感染者数がこの普遍的なゴンペルツ関数で表されるとした。

K値はその出発点が完全な現象論だったとしても，一定の背景があることが示された。ただし，その適用条件や特性を無視して性急に政策に適応することへの批判は多い。

感染症のSIRモデルは次の非線形連立微分方程式で表すことができる。ただし，人口Nの

集団における感受性保持者(Susceptible)をS(t)，感染者(Infected)をI(t), 隔離者・回復者をR(t)として，S(t)+I(t)+R(t)=Nは一定とする。また，$\beta$を感染者１人１日当りの伝搬感染者数，$\gamma$を感染者の回復率（その逆数が平均感染期間）であるとすれば，

$\dfrac{dS}{dt} = -\beta \dfrac{S}{N} I$

$\dfrac{dI}{dt} = \beta \dfrac{S}{N} I - \gamma I$

$\dfrac{dR}{dt} = \gamma I$

初期条件として，感染者$I(0)$が非常に少ないところから感染が拡大する場合を考え，$I(0) \ll S(0)$とする。このとき$S/N \sim 1$であり，元の微分方程式系は次のように近似できる。

$\dfrac{dS}{dt} = -\beta I$

$\dfrac{dI}{dt} = (\beta - \gamma) I = -\gamma (1 -  R_0) I$

$\dfrac{dR}{dt} = \gamma I$

ここで，$R_0 \equiv \beta/\gamma$ は基本再生産数とよばれる定数であり，$1 < R_0$のとき感染者数は指数関数的に増大し，$1 > R_0$ならば感染者は減少する。

$\beta$が定数でなく時間の減少関数であれば感染増大が抑制される。これを表わすために，$\beta$を$\beta(t)$としたときの，$R_t \equiv \beta(t)/\gamma$を実効再生産数とよぶ。

$I(t)$は感染者数であり，回復者の分は減少していく。一方新規感染者数の累計を$J(t)$とすれば

これは，ある集団において単調増加して収束する。そこで，上記微分方程式から減少項

$\gamma I$を除いたものが，$J(t)$に対する微分方程式だと仮定する。

$\dfrac{dJ(t)}{dt} = \gamma R_t J(t) = \beta(t) J(t)$

このとき$\bar{R}$値，$L$値，$K$値を次のように定義する。なお，$\tau=7$であり，時間の単位は日とする。

$\bar{R}(t) = J(t)/J(t-\tau) > 1,\  L(t) = \log \bar{R}(t) > 0,\ K(t) = 1-\dfrac{1}{\bar{R}(t)} < 1$

［１］Novel indicator of change in COVID-19 spread status （中野貴志）

［２］The K indicator epidemic model follows the Gompertz curve（秋山泰）

［３］Universality in COVID-19 spread in view of the Gompertz function （大西明）

SIRモデルとK値（２）へ続く