流体抵抗力（２）

 流体抵抗力（１）からの続き

藤原邦男先生の「物理学序論としての力学」の§3.4 流体中を落下する球状物体では，空気中で1cmの球体が受ける流体抵抗力は慣性力が主役を演じるとある。また，その慣性力として， $ f_{\rm I}   = \dfrac{1}{4} \rho \, \pi a^2 \, v^2 $ の形が与えられている。一方，Whiteの$C_{\rm D}$ を用いれば，流体抵抗力は $ F(v) = \dfrac{1}{2} \Bigl( \dfrac{24}{Re} + \dfrac{6}{1 + \sqrt{Re}} + 0.4 \Bigr) \rho \, \pi a^2 \,v^2 $ となる。そこで，この両者を球体の速度の関数として比較してみた。以下の図で青が$f_{\rm I}$，オレンジが $F(v)$である。

図１　$C_{\rm D}$の速度依存性（2 < $ v $ < 10）

図２　$C_{\rm D}$の速度依存性（0.1 < $ v $ < 2）

図３　$C_{\rm D}$の速度依存性（0 < $ v $ < 0.1）

このグラフを描くにあたって採用した値は次のとおりである。空気の密度 $\rho = 1.2\, {\rm kg / m}^3$，空気の粘性係数 $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\, {\rm kg / m \cdot s } $，球の半径 $ a = 2 \times 10^{-2}\, {\rm m}$，級の断面積は $ \pi a^2 = 1.26 \, \times 10^{-3} {\rm m}^2 $，球の質量は使わないが，$m = 2.7 \times 10^{-3} {\rm kg} $，したがって，レイノルズ数は $ Re = \dfrac{\rho 2a v}{\eta} = 2.67 \times 10^3 v $。