2020年7月21日火曜日

順序集合(2)

順序集合(1)からの続き

整列集合:(W,≦)を全順序集合として,その空でない部分集合がいつも最小元をもつ場合,(W,≦)を整列集合という。有限の全順序集合や,順序関係として普通の大小関係を考えたときの自然数の集合は整列集合であり,整数の集合や有理数の集合は整列集合でない。

直前の元と直後の元:順序集合Aの任意の元a,bについてa<bかつ,a<x<bとなるAの元xが存在しないとき,aはbの直前の元,bはaの直後の元であるという。整列集合Wについては,その任意の元aに対して,a<bとなるbが存在すれば,整列集合の定義からaの直後の元が存在する。

切片:Wを整列集合として,その一つの元をaとする。aより小さなWの元全体の集合を,Wのaによる切片といい,W〈a〉で表す。つまり,W〈a〉 = {x| x∈W,x<a}である。a=min Wのときは,W〈a〉 = φとなる。また,aが直前の元を持つならばそれは,a* = max W〈a〉 とかける。

超限帰納法:整列集合Wの元に関する命題Pについて,次のことが示されれば,PはWのすべての元について成り立つ。「(1) Pがx = min Wについて成り立つ。(2) ∀a∈W かつ a≠ min W として,∀x∈W<aについてPが成り立つ ⇒ Pはaについて成り立つ」これは自然数に対する数学的帰納法の一般化であり超限帰納法とよばれる。


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