順序集合（３）

このあたりが難所で遭難しかかっている。

整列集合の比較定理：２つの整列集合，(Ｗ，≦）と（Ｗ'，≦'）があるとき，つぎの３つの順序同型関係のうちいずれか１つだけが成り立つ。

　(1) Ｗ ≃ Ｗ'

　(2) ａ' ∈ Ｗ' が存在して（一意的に定まり），Ｗ ≃ Ｗ'〈ａ'〉

　(3) ａ ∈ Ｗ が存在して（一意的に定まり），Ｗ〈ａ〉 ≃ Ｗ'

つまり

　(4) 「ａ ∈ Ｗ とａ' ∈ Ｗ' が存在して （それらが一意的に定まり）Ｗ〈ａ〉 ≃ Ｗ'〈ａ'〉 ということはない」ということを暗黙に意味しているような気がするけど・・・。つまり，(4) はどんな整列集合にたいしても自明なんだけれど，そうではない，どちらかあるいは両方の整列集合の切片はとらなくてもいいんだぁということを主張しているのかな。

Ｗが有限集合でＷ'の濃度がそれより大きいならば (2) ，Ｗ'が有限集合でＷの濃度がそれより大きいならば (3)，ＷとＷ'の濃度が等しければ (1) が成り立つという直観的なイメージはあっているのだろうか。あるいは，整列集合の切片は有限集合という直感は正しいのかしら。あるいは，整列集合の濃度はたかだか可算な集合のそれと同じと考えてよいのか。→※

整列集合の比較定理の証明は，松坂本も内田本も準備のための補題がごちゃごちゃとあって，なかなかすっきりと頭に入ってこない。

補題２（松坂本）：整列集合Ｗからそれ自身への順序単射をｆとすると，Ｗのすべての元についてｆ(ｘ)  ≧ ｘ が成り立つ（これはなんとかわかる）。

補題３（松坂本）：整列集合Ｗは，その任意の切片と順序同型にはならない（それはそうだろう）。また，ａ，ｂをＷの異る２元とすると，Ｗ〈ａ〉とＷ〈ｂ〉は順序同型にならない（それはそうだろう）。

補題４（松阪本）：整列集合ＷとＷ'が順序同型ならば，Ｗの任意の切片Ｗ〈ａ〉に対して，順序同型となるようなＷ'の切片Ｗ'〈ｂ〉が存在し，ｂはａに対して一意的に定まる（そうなのか）。

定理３（松坂本103p）：整列集合ＷとＷ'が順序同型ならば，ＷからＷ'への順序同型写像は一意的に定まる（そうなのか）。特に，Ｗからそれ自身への順序同型写像は，Ｗ上の恒等写像Ｉwの他にない。

※追伸

整列可能定理：任意の順序集合は適当な順序をとることによって整列集合にできる。・・・がーん。