順序集合（１）

順序関係：同値関係は，反射律＋対称律＋推移律から成り立っていた。順序関係は，反射律＋反対称律（aRb,bRa ⇒a=b）＋推移律から成り立つ。順序関係の例として，大小関係，整除関係，包含関係などがある。大小関係にならって，順序関係を表す記号を ≦ とする。

順序集合：集合Ａにある順序 ≦ が定められたとき，それらの組（Ａ，≦）を順序集合，Ａを台集合という。Ａのどの２元にも順序が定められているとき，≦ はＡの全順序であるといい，（Ａ，≦）を全順序集合という。

順序写像：２つの順序写像（Ａ，≦）と（Ａ'，≦'）があって，ＡからＡ'への写像ｆがある。Ａの任意の元，ａ，ｂに対して，ａ≦ｂ ⇒ f(ａ) ≦' f(ｂ)が成り立つとき，ｆを順序写像という。

順序同型写像：順序写像において，f(ａ) ≦' f(ｂ) ⇒ ａ≦ｂ も成り立つ場合，ｆは単射になり，これを順序単射という。ｆが順序単射でさらにＡからＡ'への全射でもある場合，ｆをＡからＡ'への順序同型写像であるという。

順序同型：順序集合（Ａ，≦）から順序集合（Ａ'，≦'）への順序同型写像ｆが存在するとき，両者は順序同型であるといい（Ａ，≦）≃（Ａ'，≦'）と表記する。順序同型関係は，反射律，対称律，推移律を満足する同値関係である。順序同型ならばＡとＡ'には全単射ｆが存在するのでＡとＡ'は対等関係（Ａ〜Ａ'）になる。その逆は必ずしも真ではない。

双対順序：順序集合（Ａ，≦）があるとき，Ａの元ａ，ｂに対して，ｂ≦ａのときに限り，ａ≦' ｂとして関係 ≦' を定義する。これもまたＡにおける１つの順序を与えるが，≦' を ≦ の双対順序とよんで， ≦' = ≦^{-1} と表記する。また，（Ａ，≦^{-1}）を，順序集合（Ａ，≦）の双対順序集合とよぶ。

※ N, Z, Q は互いに対等な全順序集合ではあるが，どの２つも順序同型ではない？と本にはかいてあるのだけれど，そもそもどんな順序を導入したかを書かずに，順序同型かどうかを判定することはできないだろう。どういうことなのか。