集合の濃度（２）

集合の濃度（１）からの続き

濃度の和：２つの集合Ａ，Ｂに対してそれぞれの濃度を μ = card Ａ，ν = card Ｂ とする。Ａ∩Ｂ = φ が満足されるとき（いつでもこのようなＡ，Ｂあるいは対等で濃度の等しい集合を設定することができる），２つの濃度の和とよばれる演算を，μ + ν = card (Ａ∪Ｂ)  によって定義する。

濃度の和が満たす法則：定義により，交換則，結合則，零元（空集合の濃度）の存在，などが満たされる。可算集合の濃度 ℵ_0 について，ℵ_0 =1+ℵ_0 =2+ℵ_0 =ℵ_0 +ℵ_0 が成り立つ。

濃度の積：２つの集合Ａ，Ｂに対してそれぞれの濃度を μ = card Ａ，ν = card Ｂ とする。２つの濃度の積とよばれる演算を，μ ν = card (Ａ×Ｂ) によって定義する。ただし，Ａ×Ｂは２つの集合の直積である。

濃度の積が満たす法則：定義により，交換則，結合則，単位元（要素が１つの集合の濃度）と零元の存在，分配法則などが成り立つ。例えば，card (Ｎ×Ｎ) = ℵ_0 なので，ℵ_0 ℵ_0 = ℵ_0 である。

配置集合：任意の集合Ａ，Ｂにおいて，ＡからＢへの写像ｆのすべての集合を配置集合といい，𝔉(Ａ, Ｂ) または Ｂ^Ａで表す。Ａ，Ｂがｍ個およびｎ個の元を持つ有限集合の場合は，配置集合の元の数はｎ^ｍ個になる（f(1)〜f(m)に重複を許して1〜nを当てはめる場合の数）。

濃度の冪：２つの集合Ａ，Ｂに対してそれぞれの濃度を μ = card Ａ，ν = card Ｂ とする。このとき， ２つの濃度の冪とよばれる演算を， ν ^ μ = card (Ｂ^Ａ) によって定義する。ν ^ 1 = ν，1 ^ μ = １などが成り立つ。

濃度の冪が満たす法則：０でない濃度に対して，普通の自然数の冪に対して成り立つ指数法則が成り立つ。例えば，λ^μ λ^ν = λ ^ (μ+ν)，(μ ν) ^ λ = μ^λ ν^λ，(λ ^ μ) ^ ν = λ ^ (μ ν) など。また，card M = μ となる集合Ｍの冪集合の濃度は，card 𝔓(Ｍ) = ２^ μ ＞ μ である。

無限濃度の演算則：有限の濃度を𝔫，可算の濃度を𝔞，連続の濃度を𝔠とすると，

　(1)  𝔫 ≦ 𝔞 ⇒ 𝔫 + 𝔞 = 𝔞

　(2)  𝔫 ≦ 𝔠 ⇒ 𝔫 + 𝔠 = 𝔠

　(3)  1 ≦ 𝔫 ≦ 𝔞 ⇒ 𝔫 𝔞 = 𝔞

　(4)  2 ≦ 𝔫 ≦ 𝔞 ⇒ 𝔫^𝔞 = 𝔠

　(5)  1 ≦ 𝔫 ≦ 𝔠 ⇒ 𝔫 𝔠  = 𝔠

　(6)  2 ≦ 𝔫 ≦ 𝔠 ⇒ 2^𝔠 = n^𝔠