ロフテッド軌道（２）

ロフテッド軌道（１）からの続き

重力場中の質点に対する２次元極座標系$(r(t), \varphi(t))$でのニュートンの運動方程式は次のとおり。

$ \quad \quad m \bigl( \ddot{r} -r \dot{\varphi}^2 \bigr) = F_r = \frac{G M m}{r^2}$

$ \quad \quad  m \frac{d}{dt} \bigl( r^2 \dot{\varphi} \bigr)  = F_\varphi = 0$

第2式は角運動量保存則に対応しており，$r^2 \dot{\varphi} = h$ (一定) が成り立つ。

これを第1式に代入して，$ \dot{\varphi}$ を消去すると，$  \ddot{r} -\frac{h^2}{r^3}  =\frac{G M}{r^2} $となる。そこで，$u(\varphi) =\frac{1}{r(\varphi)}$と置き，$\dot{\varphi} =h u^2$に注意して，運動方程式を，軌道の形を定める$\varphi$に関する微分方程式に書き換える。

$\dot{r} = \frac{d}{d\varphi} \bigl( \frac{1}{u} \bigr ) \dot{\varphi}= -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\varphi} \ h u^2 =  -h \frac{du}{d \varphi}$

$\ddot{r} = \frac{d}{d\varphi} \bigl( -h \frac{du}{d \varphi} \bigr ) \dot{\varphi}= - h \frac{d^2 u}{d\varphi^2}  \ h u^2 =  -h^2 u^2 \frac{d^2 u}{d \varphi ^2}$

$\dot{\varphi}$を消去した運動方程式に代入すると， $-h^2 u^2 \frac{d^2 u}{d \varphi ^2} -h^2 u^3 = -GM u^2$，つまり，$\dfrac{d^2 u}{d \varphi^2} + u = \dfrac{GM}{h^2}$であり，一般解は，$u = A \cos \varphi + B \sin \varphi + \frac{GM}{h^2}$ である。

初期条件から$A,\ B$を定めるには，$\dot{r} = -h \frac{du}{d \varphi}$の表式が必要となる。一般解を右辺に代入すると，$\dot{r} = h (A \sin \varphi - B \cos \varphi )$

半径$R$の地球の中心Oを原点にとった座標系において，$(x,y)=(R,0); (r,\varphi)=(R,0)$から鉛直上方（$x$軸正方向）となす角度$\theta$の方向に，初速度$v$で質量$m$の質点を投射する。このとき $r(0)=R$，$\dot{r}(0)=v_r=v \cos \theta$，$h = r(0)^2 \dot{\varphi}(0) = R v_\theta = R v \sin \theta$である。

これらから，$\frac{1}{R} = A+ \frac{g}{(v \sin \theta ) ^2}$，$v \cos \theta = - B R v \sin \theta$であり，$A=\frac{1}{R} - \frac{g}{(v \sin \theta ) ^2}$，$B = -\frac{1}{R \tan \theta}$となる。

なお，到達時間のオーダーは，$\frac{R \Delta \varphi}{v \sin \theta}= 800 \frac{ \Delta \varphi}{\sin \theta} $[s]となる。

図：ロフテッド軌道の例