2022年3月27日日曜日

ロフテッド軌道(2)

ロフテッド軌道(1)からの続き

重力場中の質点に対する2次元極座標系$(r(t), \varphi(t))$でのニュートンの運動方程式は次のとおり。

$ \quad \quad m \bigl( \ddot{r} -r \dot{\varphi}^2 \bigr) = F_r = \frac{G M m}{r^2}$

$ \quad \quad  m \frac{d}{dt} \bigl( r^2 \dot{\varphi} \bigr)  = F_\varphi = 0$

第2式は角運動量保存則に対応しており,$r^2 \dot{\varphi} = h$ (一定) が成り立つ。

これを第1式に代入して,$ \dot{\varphi}$ を消去すると,$  \ddot{r} -\frac{h^2}{r^3}  =\frac{G M}{r^2} $となる。そこで,$u(\varphi) =\frac{1}{r(\varphi)}$と置き,$\dot{\varphi} =h u^2$に注意して,運動方程式を,軌道の形を定める$\varphi$に関する微分方程式に書き換える。

$\dot{r} = \frac{d}{d\varphi} \bigl( \frac{1}{u} \bigr ) \dot{\varphi}= -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\varphi} \ h u^2 =  -h \frac{du}{d \varphi}$

$\ddot{r} = \frac{d}{d\varphi} \bigl( -h \frac{du}{d \varphi} \bigr ) \dot{\varphi}= - h \frac{d^2 u}{d\varphi^2}  \ h u^2 =  -h^2 u^2 \frac{d^2 u}{d \varphi ^2}$

$\dot{\varphi}$を消去した運動方程式に代入すると, $-h^2 u^2 \frac{d^2 u}{d \varphi ^2} -h^2 u^3 = -GM u^2$,つまり,$\dfrac{d^2 u}{d \varphi^2} + u = \dfrac{GM}{h^2}$であり,一般解は,$u = A \cos \varphi + B \sin \varphi + \frac{GM}{h^2}$ である。

初期条件から$A,\ B$を定めるには,$\dot{r} = -h \frac{du}{d \varphi}$の表式が必要となる。一般解を右辺に代入すると,$\dot{r} = h (A \sin \varphi - B \cos \varphi )$

半径$R$の地球の中心Oを原点にとった座標系において,$(x,y)=(R,0); (r,\varphi)=(R,0)$から鉛直上方($x$軸正方向)となす角度$\theta$の方向に,初速度$v$で質量$m$の質点を投射する。このとき $r(0)=R$,$\dot{r}(0)=v_r=v \cos \theta$,$h = r(0)^2 \dot{\varphi}(0) = R v_\theta = R v \sin \theta$である。

これらから,$\frac{1}{R} = A+ \frac{g}{(v \sin \theta ) ^2}$,$v \cos \theta = - B R v \sin \theta$であり,$A=\frac{1}{R} - \frac{g}{(v \sin \theta ) ^2}$,$B = -\frac{1}{R \tan \theta}$となる。

なお,到達時間のオーダーは,$\frac{R \Delta \varphi}{v \sin \theta}= 800 \frac{ \Delta \varphi}{\sin \theta} $[s]となる。

図:ロフテッド軌道の例


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