ケンプナー級数（１）

次の調和級数は発散することが知られている。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}
+ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{9} +\cdots $
ところが，この級数のうちある数字が含まれる項をすべて取り除いた級数は収束する。この級数をケンプナー級数（kempner series）とよんでいる。

例えば，９を含むをすべて取り除いたケンプナー級数を考える。$n$桁の整数は$9\times 10^{n-1}$個あるが，そのうち９を含むものの総数は次式で与えられる。
$\displaystyle 10^{n-1}+ 8\times 10^{n-2} \times \dfrac{1-\bigl(\dfrac{9}{10}\bigr)^{n-1}}{1-\dfrac{9}{10}} = 9\cdot 10^{n-1} - 8\cdot 9^{n-1}$
$n$が増加するとともに，$n$桁の整数で９を含むものの割合は１に近づくため，ケンプナー級数が発散しないことが期待される。

なお，上記の式は９以外の１〜８についても成立するが，０の場合は，次式に修正される。
$\displaystyle 9 \times 10^{n-2} \times \dfrac{1-\bigl(\dfrac{9}{10}\bigr)^{n-1}}{1-\dfrac{9}{10}} = 9\cdot 10^{n-1} -  9^n$

実際，９を含まない$n$桁の数の逆数の和は，その最小値 $\displaystyle \frac{1}{10^{n-1}}$とその個数$8 \times 9^{n-1}$の積で押さえられるので，その総和は$\displaystyle 8\times \frac{1}{1-\frac{9}{10}} = 80$以下になり級数は収束する（０を含まない数の逆数の和は90以下となる）。

［１］Kempner : A Curious Convergence Series （1914）
［２］倪　永茂：無限級数およびその数値計算について（2014）