ケンプナー級数（２）

（ケンプナー級数（１）からの続き）

Wolfram MathworldのKempner Sereisの項には，ケンプナー級数の具体的な数値が与えられている。というわけで，さっそくJuliaを使って計算してみよう。そうそう，いつの間にか，Juliaは1.2にバージョンアップしている。再帰を使ったコードは次のとおり。

上述のMathworldでは，９を除去した場合のケンプナー級数の収束値が22.92になっているので，10^10個までの範囲でも７割程度の値しか得られていない。

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function core(is,m,x,sum)
#  local e,y::BigFloat
  e=1
  is=is-1
  for k in 1:9
    y=10*x+m[k]
    if(y!=0 && is==0)
      sum=sum+e/y
#      println(y)
    end
    if(is>0)
      sum=core(is,m,y,sum)
    end
  end
  is=is+1
  return sum
end

function kempner(is,id)
#is : depth of recursive call core
#id : figure # to remove from sum
#  local e,a,sum::BigFloat
  e=1
  m=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]
  m=deleteat!(m,id+1)
  sum=0   
  for i in 1:9
    a=m[i]
    sum=core(is,m,a,sum)
  end
  println(sum)
end

for is in 1:10
    println(is)
    @time kempner(is,9)
end
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1
4.77184876508206
  0.000109 seconds (60 allocations: 1.344 KiB)
2
6.589720190283038
  0.000105 seconds (61 allocations: 1.813 KiB)
3
8.223084402866208
  0.000134 seconds (60 allocations: 1.641 KiB)
4
9.692867792106203
  0.000408 seconds (60 allocations: 1.641 KiB)
5
11.015650849872554
  0.002865 seconds (59 allocations: 1.313 KiB)
6
12.206153622565859
  0.024687 seconds (60 allocations: 1.641 KiB)
7
13.277605939858102
  0.216985 seconds (212 allocations: 12.234 KiB)
8
14.2419130093833
  1.947383 seconds (210 allocations: 10.734 KiB)
9
15.109789370852864
 17.840434 seconds (211 allocations: 11.078 KiB)
10
15.890878115347133
160.770402 seconds (210 allocations: 10.750 KiB)

比較のため，単純な調和級数の計算コードと所要時間をあげておく。
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function test(n)
    e=1
    m=10^n
      sum=0
    for i in 1:m
      sum=sum+e/i
    end
    println(sum)
end

for i in 1:10
    println(i)
    @time test(i)
end
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1
2.9289682539682538
  0.000078 seconds (60 allocations: 1.531 KiB)
2
5.187377517639621
  0.000071 seconds (59 allocations: 1.344 KiB)
3
7.485470860550343
  0.000075 seconds (58 allocations: 1.156 KiB)
4
9.787606036044348
  0.000158 seconds (58 allocations: 1.156 KiB)
5
12.090146129863335
  0.000668 seconds (58 allocations: 1.156 KiB)
6
14.392726722864989
  0.005231 seconds (58 allocations: 1.156 KiB)
7
16.695311365857272
  0.050618 seconds (58 allocations: 1.156 KiB)
8
18.997896413852555
  0.520200 seconds (212 allocations: 13.266 KiB)
9
21.30048150234855
  5.296834 seconds (210 allocations: 10.906 KiB)
10
23.6030665949975
 53.307042 seconds (209 allocations: 10.578 KiB)