2023年7月22日土曜日

最小二乗法(2)

最小二乗法(1)からの続き

間接測定と誤差伝播(でんぱ)の法則について考えるため,物理量$z$が,独立な物理量 $a,\ b,\ c,\ \cdots$の関数で,$z=f(a,\ b,\ c,\ \cdots) $と表されるとする。

ここで,$(a_i,\ b_i,\ c_i\ \cdots)$を各物理量の$i$番目の測定値とする。また,残差を用いて,$(a_i,\ b_i,\ c_i\ \cdots) = (\bar{a}+\delta^a_i,\ \bar{b}+\delta^b_i,\ \bar{c}+\delta^c_i,\ \cdots)$とする。

$z(a_i,\ b_i,\ c_i,\ \cdots) = f (\bar{a}+\delta^a_i,\ \bar{b}+\delta^b_i,\ \bar{c}+\delta^c_i,\ \cdots) $
$\simeq f(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \cdots)+  \frac{\partial f}{\partial a} \delta^a_i + \frac{\partial f}{\partial b} \delta^b_i + \frac{\partial f}{\partial c} \delta^c_i + \cdots = \bar{z} + \delta^z_i $ 
として,$ \delta^z_i$を定義する。

残差と平均二乗誤差の関係から,間接測定される物理量zについて,$\displaystyle \sigma_z^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (\delta^z_i )^2$ が成り立つ。

$\displaystyle \therefore \sigma_z^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \Bigl( \frac{\partial f}{\partial a} \delta^a_i + \frac{\partial f}{\partial b} \delta^b_i + \frac{\partial f}{\partial c} \delta^c_i \cdots \Bigr)^2$
$\displaystyle = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \Bigl \{ \bigl( \frac{\partial f}{\partial a} \delta^a_i \bigr)^2+ \bigl(\frac{\partial f}{\partial b} \delta^b_i \bigr)^2 +\bigl ( \frac{\partial f}{\partial c} \delta^c_i \bigr)^2+ \cdots \Bigr\}$

$\displaystyle \therefore \sigma_z^2 = \Bigl( \frac{\partial f}{\partial a}\Bigr )^2 \sigma_a^2 + \Bigl( \frac{\partial f}{\partial b} \Bigr)^2 \sigma_b^2 +\Bigl( \frac{\partial f}{\partial c} \Bigr)^2  \sigma_c^2 + \cdots$

これが誤差伝播の法則といわれるものである。
なお,ここで独立な物理量の残差の積和がゼロになると仮定している。例えば,
$\displaystyle \sum_{i=1}^n \delta^a_i \delta^b_i = 0\ $などなど

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