ChatGPT（３）

ChatGPT（２）からの続き

そもそも対話型大規模言語モデルのChatGPTにどんな種類の仕事ができるかというのが，QiitaのChatGPT使い方総まとめに整理されている。

・質問-応答（〜について教えて）

・要約（以下の文章を要約して）

・Wikipedia風記事作成（〜について説明するWikipedia風の記事を出力して）

・リストからの文章化（以下を文章化して）

・タスクリスト作成（以下をタスク化して）

・スケジュール作成（この間のスケジュールを30分刻みで提示して）

・コード生成（xxするyyの関数を出力して）

・コードのドキュメント生成（以下の関数のドキュメントをxx形式で出力して）

などである。さて，今回は ChatGPTの実力を確かめるため，数学や物理の簡単な問題を解かせてみた。twitterではみなさんより高度な問題にチャレンジさせたり，科研費の書類を書かせたりと忙しい。なお，簡単な因数分解，積分，微分方程式などは解くことができる。

Ｑ：x軸上を運動する質量mの粒子にポテンシャルV(x,t)が働いている。波動関数をψ(x,t)として，シュレーディンガー方程式を書け。

Ａ：シュレーディンガー方程式は、量子力学における基本的な方程式です。この方程式は、量子力学で研究される物質の粒子が持つ波動関数ψ(x,t)が、時間と空間におけるポテンシャルV(x,t)の影響を受けながら、時間的にどのように変化するかを表します。

シュレーディンガー方程式は、次のように表されます。

iℏ∂ψ/∂t = -(ℏ^2/2m) * ∇^2ψ + V(x,t) * ψ

ここで、iは虚数単位、ℏはプランク定数、mは粒子の質量、∇^2はラプラスオペレーターを表します。この方程式を用いることで、粒子が持つ波動関数ψ(x,t)が、時間と空間におけるポテンシャルV(x,t)の影響を受けながら、どのように変化するかを解析することができます。

授業の練習課題で出した問題の一部なのだが，これはほぼOKだ。こうなると大学の宿題の有り様が大きく変わってしまう。そもそも同じ発問でも答えは何通りもあるので，従来型のコピペレポート判定ツールではまったく対処できないだろう。そこで，数値計算を含むちょっとだけ難しい問題を出してみた。ただし，少し誘導を含んでいる。

Ｑ：量子力学で，1次元の無限井戸型ポテンシャルに閉じこめられた電子の問題を考えます。電子の質量をmとするとその静止エネルギーは m*c^2=0.5*10^6 eV です。ここでcは光速度です。さて，井戸の幅をa=1Åとして，0<x<aでポテンシャルV(x)=0とします。この系の波動関数をψ(x)とすると，境界条件は，ψ(0)=0，ψ(a)=0です。この系の基底状態のエネルギーを求めてください。答えは eV の単位でお願いします。

ヒント：換算プランク定数ℏと光速度cの積は，ℏ*c = 1970 eV・Åとなります。

Ａ：境界条件から，この系の波動関数は，ψ(x)=Asin(kx)で表されます。

ここで，A は定数であり，k は波数です。

境界条件より，ψ(0)=0，ψ(a)=0 となる k の値は，k=nπ/a (n=1,2,3...) となります。

このとき，基底状態のエネルギーは，E=ℏck と表されます。

ここで，ℏ*c=1970 eV・Å とします。

よって，基底状態のエネルギーは，E=ℏck=1970 eV・Å * nπ/a = 1970 eV・Å * nπ / 1Å = 1970 eV・π * n となります。特に，n=1 の場合，E=1970 eV・π となります。

この答えは eV の単位で与えられているため，問題の要求を満たします。

よって，基底状態のエネルギーは，E=1970 eV・π ≒ 6234.6 eV です。

Ｑ：エネルギーの式は，E=ℏck ではなくて，E=(ℏ k)^2/(2m) = (ℏ c k)^2 /(2 m c^2) ですよ。

Ａ：ご指摘ありがとうございます。

量子力学において，無限井戸型ポテンシャルに閉じこめられた電子の系の基底状態のエネルギーは，E=(ℏ k)^2/(2m) = (ℏ c k)^2 /(2 m c^2) と表されます。

ここで，ℏ は換算プランク定数，k は波数，m は電子の質量，c は光速度です。

よって，基底状態のエネルギーは，E=(ℏ c k)^2 /(2 m c^2) = (1970 eV・Å * nπ / 1Å)^2 / (2 * 0.5 * 10^6 eV) = (1970 eV・π * n)^2 / (10^6 eV) = (1970 eV・π * n)^2 / (10^3 keV) となります。

特に，n=1 の場合，E=(1970 eV・π * 1)^2 / (10^3 keV) = 39400000 eV^2 / 1000 keV = 39.4 MeV となります。

この答えは MeV の単位で与えられているため，問題の要求を満たします。

よって，基底状態のエネルギーは，E=39.4 MeV です。

そうくるか。解答に問題があると指摘すると修正をかけてきた 。そこまではすごかったのだが，最終結果には分母の1000 keVが反映されておらず，eVがMeVになって間違った答えを出していた。もう一息だよ。