質量公式といえば，森田先生の友達だった早稲田大学の山田勝美先生を思い出す。いろいろお世話になったことも。ベータ崩壊の大局的理論から，精密な質量公式の導出へとつながる研究に進み，日本の原子核理論分野ではユニークな位置にいたような気がする。
ベーテ・ヴァイツゼッカ—の質量公式からペアリング項を除いた束縛エネルギーの表式は次のようになる。
$ B(A,Z) = a_\mathrm{V} \cdot A - a_\mathrm{O} \cdot A^{2/3} - a_\mathrm{C} \cdot \frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_\mathrm{S} \cdot \frac{(N - Z)^2}{A} $
順に，体積項，表面項，クーロン項，対称項となっている。
教科書にあるような，一核子当たりの束縛エネルギー$B(A)/A$のグラフを書くためには，陽子数と質量数の関係$Z(A)$が必要である。これは，$\frac{d}{dZ}B(A,Z)=0$を与える$Z^*(A)$として求まり，
$Z^*(A)=\dfrac{A}{2+ a_\mathrm{C}/(2 a_\mathrm{S}) A^{2/3}}$となる。
ここで，$a_\mathrm{V}=15.8,\ a_\mathrm{O}=17.8,\ a_\mathrm{C}=0.70, \ a_\mathrm{S}=23.3$ という経験値（単位はいずれも MeV）を代入すると，
b[a_, z_] :=
15.6 a - 17.2 a^(2/3) - 0.70 z^2/a^(1/3) - 23.3 (a - 2 z)^2/a
sol1 = NSolve[D[b[a, z], z] == 0, z];
z[a_] := z /. sol1[[1]]
e[a_] := b[a, z[a]]/a
v[a_] := 15.6
o[a_] := v[a] - 17.2 a^(-1/3)
c[a_] := o[a] - 0.70 z[a]^2/a^(4/3)
s[a_] := c[a] - 23.3 (1 - 2 z[a]/a)^2
Plot[{v[a], o[a], c[a], s[a]}, {a, 1, 216}, PlotRange -> {0, 20}]
sol2 = NSolve[D[e[a], a] == 0, a]
z[a] /. sol2[[2]]
{{a -> 4.66671*10^7}, {a -> 61.2878}}
27.4402
この近似式では，A=61，Z=27 が核子当たり結合エネルギー最大の核種となる。実際は鉄Fe（A=56, Z=26）なので少しズレている。
当初は，自分でグラフを書くには，$A=2Z + k Z^2$という近似が簡単かなと考えていた。鉛Pb（A=208, 82）を代入すれば，$1/k=153$から$Z(A)=-153+\sqrt{153^2+153 A}$ となる。概ねよい近似ではあるが，それほどメリットはなかった。
図：ベーテ・ヴァイツゼッカ—質量公式による核子当たり結合エネルギー
（上から，体積項，−表面項，−クーロン項，−対称項）
0 件のコメント:
コメントを投稿