クローニッヒ・ペニーモデル（１）

クローニッヒ・ペニーモデルは周期性を持った１次元井戸型ポテンシャルのモデルであり，結晶のバンド構造の定性的な特徴を説明することができる。

図：クローニッヒ・ペニーモデルの設定（Wikipediaより引用）

電子の質量を$m$として，1粒子の1次元シュレーディンガー方程式は，$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) +V(x) \psi(x) = E \psi(x)$である。ポテンシャルは周期性を持ち，$n$を整数として$V(x+n a)=V(x)\ $であり，ブロッホの定理から波動関数は，$\psi(x) = e^{i k x} \varphi(x)$ かつ $\varphi(x + n a)=\varphi(x)$を満たす。

ポテンシャルは，つぎの形を繰り返したものになる。

領域 Ⅰ：$V(x) =  \ 0 \ \cdots \ (0 < x < a-b)\ $

領域 Ⅱ：$V(x) = -V_0 \ \cdots \ (-b < x < 0)$

波動関数の周期性からは，$\psi(x+a) = e^{i k (x+a)}\varphi(x+a) = e^{i k (x+a)}\varphi(x) = e^{i k a} \psi(x) \ $が成り立つ。その導関数は$\psi'(x+a) = e^{i k a}\psi '(x)$となる。なお，$\psi'(x) = i k e^{i k x}\varphi(x) + e^{i k x}\varphi'(x) = i k \psi(x) + e^{i k x}\varphi'(x)$である。

自由電子のエネルギーは正であり，ポテンシャルが定数であるため，どちらの領域でも解は平面波になる。$p=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, q=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar}$として一般解は，

領域 Ⅰ：$\psi_{\rm I}(x) = A e^{i p x} + A' e^{-i p x} \ \cdots \ (0 < x < a-b)\ $

$\qquad \quad = e^{i k x} (A e^{i (p-k) x} + A' e^{-i (p+k) x} ) $

領域 Ⅱ：$\psi_{\rm II}(x) =  B e^{i q x} + B' e^{-i q x} \ \cdots \ (-b < x < 0)\ $

$\qquad \quad = e^{i k x} (B e^{i (q-k) x} + B' e^{-i (q+k) x}) $

波動関数とその導関数が，領域Iと領域IIの境界で連続であるという条件を書く。
$\psi_{\rm I}(0) = \psi_{\rm II}(0);\ \psi_{\rm I}'(0) = \psi_{\rm II}'(0)$，$\psi_{\rm I}(a-b) = e^{i k a }\psi_{\rm II}(-b);\ \psi_{\rm I}'(a-b) = e^{i k a }\psi_{\rm II}'(-b)$

$A+A'=B+B'$
$p(A-A')=q(B-B')$
$A\ e^{ip(a-b)}+A'e^{-ip(a-b)}=B\ e^{-iqb+ika}+B'e^{iqb+ika}$
$pA\ e^{ip(a-b)}-pA'e^{-ip(a-b)}=qB\ e^{-iqb+ika}-qB'e^{iqb+ika}$

ここで，$\alpha = p(a-b)$，$\beta = q b$と置く。

$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -1 \\ p & -p & -q & q \\ e^{i\alpha} & e^{-i\alpha} & -e^{-i\beta}e^{ika} & -e^{i\beta}e^{ika} \\ p e^{i\alpha} & - p e^{-i\alpha} & -q e^{-i\beta}e^{ika} & q e^{i\beta}e^{ika} \end{array} \right)  \left( \begin{array}{c} A\\ A' \\ B \\ B' \end{array} \right) = 0 $

波動関数の係数に対するこの4元連立方程式が自明でない解を持つためには，行列式が0でなければならない。この条件をつかって，2列と1列の和と差，4列と3列の和と差から等価な行列式を求めれば，次のようになる（3行目から$e^{ika}$を外にくくり出した）。

$e^{ika} \cdot \left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & p & 0 & q \\ \cos \alpha \ e^{-ika} & i \sin \alpha \  e^{-ika}& -\cos \beta & -i \sin \beta \\ i p\ \sin \alpha & p\ \cos \alpha & i q\ \sin \beta \ e^{ika} & q\ \cos \beta \ e^{ika} \end{array} \right|  = 0 $

これから4x4行列式の値$|M|$を計算する。

$|M|= p\ q\ e^{i k a} \left | \begin{array}{cc} -\cos \beta  & - i \sin \beta  \\ i \sin \beta & \cos \beta \end{array} \right | + q \left | \begin{array}{cc} i \sin \alpha e^{-i k a } & - \cos \beta \\ p \cos \alpha & i q \sin \beta e^{ika} \end{array} \right |$

$\qquad \quad - q\ p\ e^{-i k a}\ \left | \begin{array}{cc} \cos \alpha  & i \sin \alpha \\ i \sin \alpha & \cos \alpha  \end{array} \right | - p \left | \begin{array}{cc} -i \sin \beta  & \cos \alpha e^{-ika} \\ q \cos \beta e^{ika} & i p \sin \alpha \end{array} \right | $

$\quad = -2 p q \cos ka + q( -q \sin \alpha \sin \beta + p \cos \alpha \cos \beta ) -p (p \sin \alpha \sin \beta -q \cos \alpha \cos \beta )$

$\quad = -2 p q \cos ka +2 p q \cos \alpha \cos \beta -(p^2+q^2) \sin \beta \sin \beta = 0$

最終的に得られる関係式は，次のとおりである。

$ \cos ka  = \cos \alpha \cos \beta -\frac{p^2+q^2}{2 p q} \sin \alpha \sin \beta$

$\qquad = \cos p(a-b) \cos qb -\frac{p^2+q^2}{2 p q} \sin p(a-b) \sin qb$

4行4列の行列式は，Mathematicaを使えば手軽に計算できるのだけれど，手計算でもなんとかなる場合があるということを学ぶ。