ルジャンドル変換（４）

 ルジャンドル変換（３）からの続き

ルジャンドル変換の例題を考えていて，$f(x=0)=f^*(p=0)=0$ならば，積分の図とうまく整合するのだが，そうでない場合にどうなるのかちょっと困った。そこで，簡単な２次関数の例で試してみた。

図：定数分の補正で説明できるルジャンドル変換の例

図左のように元の関数を，$f(x)=(x-a)^2+b$とする。このとき$x$が増加して$f(x)$が減少する部分があるので，正の面積だけでは表現できない。実際，図中で$f'(x)$は$0<x<a$で負になる。そこで，$f(x) = \int_0^x f(y) dy + C$として，初期値を$f(0)=(a^2+b)=C$，$x$軸以下の部分の面積を負の量として考える。

このとき，$f^{*}(p)= \int_{-2a}^p {f^{*}}'(q) dq - C$として，$f(x) + f^{*}(p) = x\,p$が成り立つことになる。図右には，結果としての$f^{*}(p)$のグラフを示している。このように積分領域や定数を適当に調整することで，面積によるルジャンドル変換の解釈はそのまま使えると思われる。

この例では，$x$の範囲は，$0<x$としているが，$x_\min < x < x_\max$の範囲で$f(x)$を定義し，これに対応する $p_\min < p < p_\max$ の範囲の$f*(p)$を考えて，定数分の補正をすれば良い。