2021年10月14日木曜日

凸関数

 ルジャンドル変換について調べようと,田崎さんの熱力学谷村さんの資料を見ていたら,事前知識として凸関数(Convex Function)が要求された。それは次のようなものだった。

(1) 定義:ある区間で定義された実数値関数 $f(x)$ において,区間内の任意の点,$x_1 < x_2$に対して,$0 < \lambda < 1$ として,$f((1 - \lambda) x_1 + \lambda x_2) \le (1 - \lambda) f(x_1) + \lambda f(x_2)$ を満足する$f(x)$は凸関数であるという。

(2) 凸関数は連続である。

(3) 凸関数が2回微分可能な点$x$では,$f''(x) >0$である(2回微分できない点もある)。

(4) 任意の点$x_0$ で右微分$f'_{-}(x_0)$と左微分$f'_{+}(x_0)$が存在し,次の条件,$f'_{-}(x_0) < \alpha < f'_{+}(x_0)$を満足する定数$\alpha$に対して,$f(x) \ge f(x_0) + \alpha (x - x_0)$となる。

(5) 一階微分可能な点$x_0$では,$f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)$ が成り立つ。


図:凸関数の定義のための補助図


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