凸関数

 ルジャンドル変換について調べようと，田崎さんの熱力学や谷村さんの資料を見ていたら，事前知識として凸関数（Convex Function）が要求された。それは次のようなものだった。

(1) 定義：ある区間で定義された実数値関数 $f(x)$ において，区間内の任意の点，$x_1 < x_2$に対して，$0 < \lambda < 1$ として，$f((1 - \lambda) x_1 + \lambda x_2) \le (1 - \lambda) f(x_1) + \lambda f(x_2)$ を満足する$f(x)$は凸関数であるという。

(2) 凸関数は連続である。

(3) 凸関数が２回微分可能な点$x$では，$f''(x) >0$である（２回微分できない点もある）。

(4) 任意の点$x_0$ で右微分$f'_{-}(x_0)$と左微分$f'_{+}(x_0)$が存在し，次の条件，$f'_{-}(x_0) < \alpha < f'_{+}(x_0)$を満足する定数$\alpha$に対して，$f(x) \ge f(x_0) + \alpha (x - x_0)$となる。

(5) 一階微分可能な点$x_0$では，$f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)$ が成り立つ。

図：凸関数の定義のための補助図