角運動量代数（２）

角運動量代数（１）からの続き

Mathematicaの関数には，かなり昔からClebshGordan係数が含まれていた。さすがに素粒子物理を専攻していたウルフラムだと思った。Mathematicaには次の関数が実装されている。

ClebschGordan[{j1,m1},{j2,m2},{j,m}]　|jm〉から|j1m1〉|j2m2〉への分解に対する，クレプシュ・ゴルダン係数を与える。
ThreeJSymbol[{j1,m1},{j2,m2},{j3,m3}]　ウィグナーの3-jシンボルの値を与える（m1+m2+m3=0）。
SixJSymbol[{j1,j2,j3},{j4,j5,j6}]　ラカーの6-jシンボルの値を与える。

Juliaではどうかというと，WingerSymbols.jlというパッケージがあり，以下の関数が使える。
wigner3j(j1,j2,j3,m1,m2,m3=-m1-m2)，wigner6j(j1,j2,j3,j4,j5,j6)，clebschgordan(j1,m2,j2,m2,j3,m3=m1+m2)， racahV(j1,m2,j2,m2,j3,m3=-m1-m2)，racahW(j1,j2,J,j3,J12,J23)

いずれにせよ9-j symbolは実装されていないのだった。一方，PythonのSymPyにあるWignerSymbolsには，Wigner 3-j，6-j，9-j，Clebsch-Gordan係数，Racah係数，Gaunt係数が含まれている。Gaunt係数という名前は知らなかったが，換算行列要素の形では頻出する係数だ。それより，JuliaのWignerFamilies.jlというパッケージで，3-j Symbolの配列が計算されてグラフ化されているのが印象的だった。 

using WignerFamilies
# wigner3j for all j fixing j2=100, j3=60, m2=70, m3=-55, m1=-m2-m3
w3j = wigner3j_f(100, 60, 70, -55)
js = collect(eachindex(w3j))
plot(js, w3j.symbols)

図　f(j) = w3j(j,100,60,-15,70,55) （JuliaPackageから引用）