2020年9月5日土曜日

レピュニット

レピュニット数(repunit = Repeated Unit ) とは,全ての桁が1である自然数のことである。例えば,1,11,111,1111,11111,111111・・・などである。1が$n$個並ぶレピュニット数を$R_n$と書くと,$R_n = \dfrac{10^n - 1 }{9}$である。

tujimotterの「任意の素数はレピュニットの素因数に現れる(2, 5を除く)あとダイヤル数」によると,次の定理「2と5 を除く任意の素数 $p$ に対し,ある正整数 $n>1$ が存在して $R_n$は p で割り切れる」が成り立つ。このとき,$R_n = \dfrac{10^n - 1 }{9} \equiv 0 ,\quad (\mod\ p)$

$p \neq 3$ならば($R_3 = 111 \equiv 0 \mod 3$なので,$p =3$ は OK),$10^n \equiv 1 \ (\mod p) , \quad n>1 $が成り立てばよい。これはフェルマーの小定理にほかならない。

フェルマーの小定理:互いに素である整数 $a$ と 素数 $p$ に対し,$a^{p−1} \equiv 1 \ (\mod p)$が成り立つ。

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