巨大数（２）

巨大数（１）からの続き

巨大数の表記法としてよく用いられるものの一つが，ドナルド・クヌースによる矢印表記（Up-Arrow-Notation）である。ここでは簡単のため，$\uparrow^n = \uparrow \uparrow \cdots \uparrow $と表記する。矢印はつねに右結合するものとして，その定義は，$a \uparrow^1 b = a^b$，$ a \uparrow^n 1 = a$， $ a \uparrow^{n+1} (b+1) = a \uparrow^n (a \uparrow^{n+1} b)$とする。

積：$a\times b = a+a+\cdots+a =  a \uparrow^0 b $ 

累乗：$ a^b = a \times a \times \cdots \times a  = a \uparrow^1 b = a \uparrow^0 a \uparrow^0 \cdots \uparrow^0 a  = a \uparrow^0 ( a \uparrow^1 (b-1) ) $

テトレーション：$ ^ba = a^{a^{a^{\cdots^{a}}}}  = a \uparrow^2 b = a \uparrow^1 a \uparrow^1 \cdots \uparrow^1 a = a \uparrow^1 ( a \uparrow^2 (b-1) ) $

ペンテーション：$ _ba = ^{^{^{^{a}\cdots}a}a}a = a \uparrow^3 b = a \uparrow^2 a \uparrow^2 \cdots \uparrow^2 a = a \uparrow^2 ( a \uparrow^3 (b-1) ) $

ヘキセーション：$ a_b = _{_{_{_{a}\cdots}a}a}a  = a \uparrow^4 b = a \uparrow^3 a \uparrow^3 \cdots \uparrow^3 a  = a \uparrow^3 ( a \uparrow^4 (b-1) ) $

 累乗：

$a^0 \equiv 1, \quad 0^b=0\ (b \neq 0),  \quad a^1=a, \quad 1^b = 1, \quad 2^2 = 4, \quad 3^3=27 $

テトレーション：

$^0a \equiv 1, \quad ^b0=\begin{cases} 1\ (b=even) \\ 0\ (b=odd) \end{cases},  \quad ^b1 = 1$

$^1a = a \uparrow^2 1 = a \uparrow^1 ( a \uparrow^2 0 ) = a \uparrow^1 1 = a$

$^2a = a \uparrow^2 2 = a \uparrow^1 ( a \uparrow^2 1 ) = a \uparrow^1 a = a^a$

$^3a = a \uparrow^2 3 = a \uparrow^1 ( a \uparrow^2 2 ) = a \uparrow^1 a^a = a^{a^a}$

${^2}2 = 2^{2} = 4, \quad {^3}3=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987$

ペンテーション（左下付き表現は独自）： 

$_0a \equiv 1, \quad _b0=\begin{cases} 1\ (b=even) \\ 0\ (b=odd) \end{cases}, \quad _b1 = 1$

$_1a = a \uparrow^3 1 = a \uparrow^2 ( a \uparrow^3 0 ) = a \uparrow^2 1 = a $

$_2a = a \uparrow^3 2 = a \uparrow^2 ( a \uparrow^3 1 ) = a \uparrow^2 a = {^a}a $

$_3a = a \uparrow^3 3 = a \uparrow^2 ( a \uparrow^3 2 ) = a \uparrow^2 {^a}a = {^{^aa}}a $

${_2}2 = {^2}2 = 2^2 = 4, \quad {_3}3={^{^33}}3=^{7625597484987}3 $

ヘキセーション（右下つき表現は独自）： 

$a_0 \equiv 1, \quad 0_b=\begin{cases} 1\ (b=even) \\ 0\ (b=odd) \end{cases}, \quad 1_b = 1$

$a_1 = a \uparrow^4 1 = a \uparrow^3 ( a \uparrow^4 0 ) = a \uparrow^3 1 = a $

$a_2 = a \uparrow^4 2 = a \uparrow^3 ( a \uparrow^4 1 ) = a \uparrow^3 a = {_a}a $

$a_3 = a \uparrow^4 3 = a \uparrow^3 ( a \uparrow^4 2 ) = a \uparrow^3 {_a}a = {_{_aa}}a $

$2_2 = {_2}2 = {^2}2 = 2^2 = 4$