ネイピア数と素数

（天才数学少女？からの続き）

ネイピア数を10進法で表現し，小数点以下650桁までとったものから2.7を減じたものを整数とみなした数が素数になるという話について。なぜ，最初の２桁を除いたものなのだろうか。その他ではどうなるのだろうか。そこで，上の桁から順に取り除いて整数化したもののうちはじめて素数が現れる小数点以下桁数を探してみた。

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N[E, 20]
2.7182818284590452354

g1[k_] := PrimeQ[Floor[(N[E, k + 3]*10^(k + 1) - 2*10^(k + 1))]]
g2[k_] := PrimeQ[Floor[(N[E, k + 3]*10^(k + 1) - 27*10^k)]]
g3[k_] := PrimeQ[Floor[(N[E, k + 3]*10^(k + 1) - 271*10^(k - 1))]]
g4[k_] := PrimeQ[Floor[(N[E, k + 3]*10^(k + 1) - 2718*10^(k - 2))]]
g5[k_] := PrimeQ[Floor[(N[E, k + 3]*10^(k + 1) - 27182*10^(k - 3))]]
g6[k_] := PrimeQ[Floor[(N[E, k + 3]*10^(k + 1) - 271828*10^(k - 4))]]
g7[k_] := PrimeQ[Floor[(N[E, k + 3]*10^(k + 1) - 2718281*10^(k - 5))]]
g8[k_] := PrimeQ[Floor[(N[E, k + 3]*10^(k + 1) - 27182818*10^(k - 6))]]
g9[k_] :=
 PrimeQ[Floor[(N[E, k + 3]*10^(k + 1) - 271828182*10^(k - 7))]]
g10[k_] :=
 PrimeQ[Floor[(N[E, k + 3]*10^(k + 1) - 2718281828*10^(k - 8))]]
g11[k_] :=
 PrimeQ[Floor[(N[E, k + 3]*10^(k + 1) - 27182818284*10^(k - 9))]]
g12[k_] :=
 PrimeQ[Floor[(N[E, k + 3]*10^(k + 1) - 271828182845*10^(k - 10))]]
g13[k_] :=
 PrimeQ[Floor[(N[E, k + 3]*10^(k + 1) - 2718281828459*10^(k - 11))]]

 {g1[1], g2[649], g3[26], g4[3], g5[25], g6[34], g7[18],  g8[7], g9[273], g10[44], g11[10], g12[16], g13[16]}

 {True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True}
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最後の数字はgi[k]のテーブルを目の子で作って探した結果だけを書いたものであり，２桁の2.7を差し引いた場合が，他の場合に比べて際立っていることがわかる。が，それほど意味はない。

【付録】なお，素数定理とネイピア数には関係があるらしい。
f[n_] := Apply[LCM, Range[n]]^(1.0/n)
a = Table[f[i], {i, 1, 10000}]; b=Table[f[i],{i,1,100000}];
ListPlot[a]
ListPlot[b]

図　nまでの数の最小公倍数のn乗根の収束性