ディオファントス方程式 $x^3+y^3+z^3=n$（１）

昨日，ディオファントス方程式，$x^3+y^3+z^3=n$ の $n=33$ の解が見つかったというニュースが飛び込んできた。ここで，$n$は自然数，$x, y, z$ は整数である。例えば，$(x,y,z)=(1,1,-1)$ ならば　$n=1$であり，$(x,y,z)=(7,-6,-5)$ならば　$n=2$であり，$(x,y,z)=(1, 1, 1)$ならば　$n=3$である。
\begin{equation}
33= (8,866,128,975,287,528)^3 \\
+(-8,778,405,442,862,239)^3 \\
+(-2,736,111,468,807,040)^3
\end{equation}
20年ほどまえの，KOYAMA, TSURUOKA & SEKIGAWA の論文では，nが1000以下では，

n=  30, 33, 42, 52, 74, 75, 110, 114, 156, 165, 195, 290, 318, 366, 390, 420, 435, 444, 452, 501, 530, 534, 564, 579, 588, 600, 606, 609, 618, 627, 633, 732, 735, 758, 767, 786, 789, 795, 830, 834, 861, 894, 903, 906, 912, 921, 933, 948, 964, 969, 975.

が未発見となっている。

簡単なJuliaのプログラムをつくってみた。$1^3$から$1000^3$までの組み合わせでつくれない２桁以下の$n$は，30,33,39,42,52,74,75,84,87の９つである。『数学者の密室（三島久典さん）』のページにはさらに詳しい情報があり，$0 \le n \le 99$, not equal 4 or 5 (mod 9) , $0 \le |x| \le |y| \le |z| \le 10^{10}$の範囲で，未解決なものはその記事の執筆時点で 33, 42, 74となっていた。

つまり，
30=(-283059965)^3+(-2218888517)^3+(2220422932)^3
33= ? → 上述のとおり解決
39=(117367)^3+(134476)^3+(-159380)^3
42= ?
52=(23961292454)^3+(60702901317)^3+(-61922712865)^3
74= ?
75=(4381159)^3+(435203083)^3+(-435203231)^3
84=(-8241191)^3+(-41531726)^3+(41639611)^3
87=(-1972)^3+(-4126)^3+(4271)^3
である。

（注）オンライン整数列大事典では，このあたり（A173515）。
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
c=zeros(Int64,100)

function dpt(n,c)
  a=ones(Int128,n)
  for m in 1:n
   a[m]=m^3
  end
  for i in 1:n, j in -n:n, k in j:n
    if(i*j*k != 0 && j+k !=0 && i+j !=0 && i+k !=0)
      b=a[i]+sign(j)*a[abs(j)]+sign(k)*a[abs(k)]
      if(b>0 && b<100)
        c[b]=b
      end
    end
  end
end

for m in 10:10
  println(m)
  @time dft(c,100*m)
  println(c,count(x->x==0,c))
end
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
10

  8.256924 seconds (38.49 k allocations: 1.883 MiB)
[1, 2, 3, 0, 0, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 0, 0, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 0, 0, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 0, 0, 0, 0, 34, 35, 36, 37, 38, 0, 0, 0, 0, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 0, 0, 51, 0, 53, 54, 55, 56, 57, 0, 0, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 0, 0, 69, 70, 71, 72, 73, 0, 0, 0, 0, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 0, 0, 0, 0, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 0, 0, 96, 97, 98, 99, 0]32

（ディオファントス方程式 $x^3+y^3+z^3=n$（２）に続く）