ヘロンの公式

速度の平均からの続き

図：ヘロンの公式のイメージ

中学校3年になると，高校入試のための模擬実力試験が催される。金沢大学の城内キャンパスや商工会議所あたりが会場の試験に，二三回参加した。市内や近郊の中学生がこぞって参加していた。

初めての模擬試験は金沢大学の会場であり，寒々とした晩秋の日に山田雄治君と向かった。その数学の問題で，三角形の三辺が与えられていて，面積を求めよというものだった。当然ヘロンの公式は知らないのだが，ピタゴラスの定理は学んでいる。

図の左のような方法で，なんとか自力で解くことができた。ところが，試験終了後これは範囲外の問題なので，ノーカウントみたいな話が伝わってきた。ええっ。上位者の結果は参加者の名前と出身中学と点数のリストとして出てくる。とりあえず数学だけは良いほうだった。

参考：

ピタゴラスの定理から，$h^2 = a^2 - x^2 = b^2 - (c-x)^2$，∴ $ x = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2c}$

これから，$S= \dfrac{c}{2} \sqrt{a^2 - x^2} = \dfrac{1}{4}\sqrt{(2 a c)^2-(a^2+c^2-b^2)^2}$

∴ $S = \dfrac{1}{4} \sqrt{\{2 a c -(a^2+c^2-b^2)\}\{2 a c + (a^2+c^2-b^2) \}}$

$\quad = \dfrac{1}{4} \sqrt{\{b^2-(a-c)^2\}\{(a+c)^2-b^2 \}}$

$\quad = \dfrac{1}{4} \sqrt{(b-a+c)(b+a-c)(a+c-b)(a+c+b)}$

$\quad = \sqrt{s ( s-a) (a-b) (s-c)}$． ただし，$s = \frac{a+b+c}{2}$

なお，余弦定理を使うと，$\cos B = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2 a c}$ から，

$S = \dfrac{ac}{2} \sqrt{1 - \Bigl( \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2 a c}\Bigr)^2} = \dfrac{1}{4}\sqrt{(2 a c)^2-(a^2+c^2-b^2)^2}$ 

なので上式に一致する。