ピタゴラスの定理（２）

ピタゴラスの定理（１）からの続き

新しいピタゴラスの定理を発見した女子高校生チームが，新論文を出していた。さらに5つの新しい証明方法を見つけたというものだ。さっそく確認してみる。

図：ピタゴラスの定理の証明

図の３つの三角形に正弦定理（この名前がすでに思い出せない）を当てはめると次の六つの関係式が得られる。

$\triangle {\rm ABC : \quad}  \dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \pi/2}$

$\triangle {\rm ADC : \quad}  \dfrac{a+d}{\sin 2 \alpha} = \dfrac{b}{\sin (\beta-\alpha)} = \dfrac{x}{\sin \pi/2}$

$\triangle {\rm ADB : \quad}  \dfrac{d}{\sin \alpha} = \dfrac{c}{\sin (\beta-\alpha)} = \dfrac{x}{\sin \beta}$

$x$の項は不要だとすれば四式が残る。これから，$\alpha,\ \beta,\ d\ $を消去すると $\ a,\ b,\ c\ $の関係式が得られる。すなわち，$(a+d)\sin (\beta-\alpha)  = b \sin 2 \alpha, \quad d \sin (\beta-\alpha)  = c \sin \alpha $ から$\ d\ $を消去して，$\sin \alpha = \dfrac{a}{c}, \ \sin \beta = \dfrac{b}{c},\ \cos \alpha = \dfrac{b}{c}, \ \cos \beta = \dfrac{a}{c} \ $を代入する。

$a \dfrac{b^2-a^2}{c^2} + c \dfrac{a}{c} = b \dfrac{2 a b}{c^2} $ となり，$a^2+b^2=c^2$ が導かれる。