アンペールの法則（１）

物理科学概説の授業で，アンペールの法則のところに入った。積分形では，$\displaystyle \oint_C \bm{B}(\bm{r})\cdot d\bm{r}=\mu_0 I$である。

十分長くてまっすぐの導線を流れる電流のまわりの磁束密度$\bm{B}(\rm{r})$の強さ$B(r)$は，電流の強さ$I$に比例し，電流からの距離$r$に反比例する。その向きは電流の向きに右ネジが進むときにネジが回る方向（電流を中心とした半径$r$の円の接線方向）である。

この実験事実を式で表現する。直線電流上の一点を原点に取って，磁束密度ベクトルは原点をとおり電流に垂直な平面内にある。観測点の座標を$\bm{r}=(r\cos\varphi, r\sin\varphi)$として，$\bm{B}(\bm{r})=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}(-\sin \varphi, \cos \varphi) = B(r) \cdot \bm{e}_{\varphi}$となる。このとき，$\bm{B}(\bm{r})\cdot \bm{r}=0$となっている。

このとき，積分形のアンペールの法則を導けるかという問題だ。

図：アンペールの法則の積分形の導出

積分形のアンペールの法則では，空間中に任意の閉経路Ｃを設定して，この経路Ｃに対する磁束密度の線積分を求める。線積分要素は$dB = \bm{B}(\bm{r})\cdot d\bm{r}= B(r) dr \cos\theta$となる。一方，線要素の磁束密度方向の成分は，$dr \cos \theta = r d\varphi$である。そこで，$dB = B(r) r d\varphi = \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi} d\varphi$となる。$\therefore \oint_C \bm{B}(\bm{r})\cdot d\bm{r} = \int_0^{2\pi}  \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi} d\varphi = \mu_0 I$

したがって，無限直線電流に対して，3次元空間内でこれを囲む任意の閉経路での磁束密度の線積分の値は，この経路を貫く電流に磁気定数をかけたものとなる。