2023年12月3日日曜日

球形キャパシタ

球形キャパシタの問題を物理科学概説の中間テストで出題した。

教科書の例題と同じ単純な問題のつもりだったけれど,2つの球殻に与える電荷の記述を省略したため,アースの取り方によって話が変わるのだった。それが教科書の章末課題に書いてあったので,良く勉強した学生さんはそちらを参照していた。


図:球形キャパシタのイメージ

半径$a$と$b$の同心の導体球殻があり,それぞれに電荷$q_a$と$q_b$を与えたとき,それぞれの電位が$V(a)$と$V(b)$になったとする。内球殻の電荷がつくる電場は,$E_a=\dfrac{q_a}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{r^2}\quad (a<r<b)$,であり,これによって誘導される電荷が外球殻の内面に$-q_a$,外面に$q_a$だけ生ずる。これによって,外球殻の外面には$q_a+q_b$の電荷が分布するので,この電荷が作る電場は,$E_b=\dfrac{q_a+q_b}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{r^2}\quad (b<r)$となる。

これから,外球殻の電位は,$\displaystyle V_b(r) = -\int_\infty^r \dfrac{q_a+q_b}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{r^2}\ dr = \dfrac{q_a+q_b}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r} \quad (b<r)$ となり,$V(b) =  \dfrac{q_a+q_b}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{b}$
内球殻の電位は,$\displaystyle V_a(r) = V(b) -\int_b^r \dfrac{q_a}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{r^2}\ dr = V(b) + \dfrac{q_a}{4 \pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{r} -  \dfrac{q_a}{4 \pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{b}$
$\therefore V(a) =  \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \Bigl( \dfrac{q_b}{b} +  \dfrac{q_a}{a} \Bigr)$

(1) 外球殻が接地されている場合
$V(b)=0$より$q_b = -q_a$となる。$\therefore V(a) = \dfrac{q_a}{4 \pi \varepsilon_0}\Bigl( \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}\Bigr) = \dfrac{q_a}{C}$とすれば,
キャパシタの電気容量$C$は,$C = \dfrac{4 \pi \varepsilon_0 a b }{b-a}$となる。

(2) 内球殻が接地されている場合
$V(a)=0$より$q_a = -\dfrac{a}{b} q_b$となる。$\therefore V(b) =  \dfrac{q_b}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{1 - a/b}{b} = \dfrac{q_b}{C'}$とすれば,
キャパシタの電気容量$C'$は,$C' = \dfrac{4 \pi \varepsilon_0 b^2 }{b-a}$となる。

このとき,$C' = C +  4 \pi \varepsilon_0 b$となって,外球殻をキャパシタと考えたときの電気容量とCとの並列接続の式となっている。

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