軸対称電荷分布（４）

軸対称電荷分布（３）からの続き　　

軸対称電荷分布を持つ変形核の作るクーロン場のルジャンドル成分は次式で与えられる。

$\displaystyle V_n (r, s) = -\dfrac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{4\pi}{v}P_n(s) \int_0^1 P_n(t)  \int_0^{R(t) } \dfrac{1}{r_>} \Bigl(\dfrac{r_<}{r_>} \Bigr)^n \ r'^2 dr' \ dt$

ただし，$Ze = \rho_0 v$，$\displaystyle v=4\pi \int_0^1 \int_0^{R(t)} r'^2 dr' dt$ である。

そこで，図のように観測点の座標$r$と電荷分布の関係で3つの場合に分けることができる。

図：軸対称電荷分布の断面と観測点の関係

観測点の半径$r$が$a>r>c$を満足する場合の交点（$z$軸に垂直な円）は，図O$_2$における交点の座標を$(x,z)$，$z$軸からの方位角のコサインを$t=\tau$とすると，$(x=r \sqrt{1-\tau^2},\  z=r \tau)$である。そこで，電荷分布断面の曲線と観測点の半径$r$の円の交点$(x,z)$を求めれば，それらから$\tau$が定まる。例えば，楕円の場合は$\tau=\dfrac{a}{r}\sqrt{\dfrac{r^2-c^2}{a^2-c^2}}$である。

$V_n(r, s)= -\dfrac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{4\pi}{v}P_n(s) \widetilde{V}_n(r)$とおくと

(1) ${\rm O_1}\ (r>a>c, r'<r) $の場合

$\displaystyle \widetilde{V}_n(r)= \dfrac{1}{r^{n+1}}\int_0^1  P_n(t) \int_0^{R(t)}r' ^{\ n+2}dr'\ dt = \dfrac{1}{r^{n+1}}\int_0^1  P_n(t) \dfrac{R(t)^{n+3}}{n+3} dt$

(2) ${\rm O_2}\ (a>r>c) $の場合

　(2-1) $(1>t>\tau,\ r'<r)$の場合

$\displaystyle \widetilde{V}_n(r)= \dfrac{1}{r^{n+1}}\int_\tau^1  P_n(t) \int_0^{R(t)}r' ^{\ n+2}dr'\ dt = \dfrac{1}{r^{n+1}}\int_\tau^1  P_n(t) \dfrac{R(t)^{n+3}}{n+3} dt$

　(2-2) $(\tau>t>0, \ r'<r)$の場合

$\displaystyle \widetilde{V}_n(r)= \dfrac{1}{r^{n+1}}\int_0^\tau  P_n(t) \int_0^r r' ^{\ n+2}dr'\ dt = \dfrac{1}{r^{n+1}}\int_0^\tau  P_n(t) \dfrac{r^{n+3}}{n+3} dt = \frac{r^2}{n+3}\int_0^\tau  P_n(t) dt $

　(2-3) $(\tau>t>0,\  r<r')$の場合

$\displaystyle \widetilde{V}_n(r)= r^n \int_0^\tau  P_n(t) \int_r^{R(t)} r' ^{\ 1-n}dr'\ dt = r^n \int_0^\tau  P_n(t) \Bigl[ \dfrac{r' ^{2-n}}{2-n} \Bigr]_r^{R(t)} dt \cdot (1-\delta_{n2}) $

$\displaystyle + r^n \int_0^\tau  P_n(t) \Bigl[ \log r' \Bigr]_r^{R(t)} dt \cdot \delta_{n2}$

(3) ${\rm O_3}\ (a>c>r) $の場合

　(3-1) $(r'<r)$の場合

$\displaystyle \widetilde{V}_n(r)= \dfrac{1}{r^{n+1}}\int_0^1  P_n(t) \int_0^r r' ^{\ n+2}dr'\ dt = \dfrac{1}{r^{n+1}}\int_0^1 P_n(t) \dfrac{r^{n+3}}{n+3} dt = \frac{r^2}{n+3}\delta_{n0}$

　(3-2) $(r<r')$の場合

$\displaystyle \widetilde{V}_n(r)= r^n \int_0^1  P_n(t) \int_r^{R(t)} r' ^{\ 1-n}dr'\ dt = r^n \int_0^1 P_n(t) \Bigl[ \dfrac{r' ^{2-n}}{2-n} \Bigr]_r^{R(t)} dt \cdot (1-\delta_{n2}) $

$\displaystyle + r^n \int_0^1  P_n(t)  \log R(t) dt \cdot \delta_{n2}\quad$（注）上式の後半は$\Bigl( -\dfrac{r^2}{2-n}\delta_{n0}\Bigr)$とまとまる。