軸対称電荷分布（１）

ドーナツ地球（３）からの続き

ドーナツ地球の重力場のことを考えていたら，昔，卒業論文のテーマに変形核のクーロン場中のミューオン原子波動関数を求めるという課題を出していたことを思い出した。ちょっと再現してみようと試みたけれど，まったく頭が働かない。

過去の卒論は，退職前にあらかた pdf にして保存したはずなのに見つからない。最近ありがちなパターンである。朝早くうとうとしていたら，ふと探し方に気がついた。一度探していた外付けハードディスクを再度検索して，無事に目的のフォルダを発見することができた。

1997年度に研究室配属された出世・松井・渡会の3人チームにテーマを与えて，手間のかかる変形核のクーロンポテンシャルの積分はMathematicaで計算するように指示したものだった。自分ではすぐ導出できたものが，4回生のチームが追いかけてくるのに，かなり時間がかかったのを憶えている。ところがいまでは，その導出方法を自分では簡単に再現できないような始末だ。

さいわい，彼らの卒業論文をみると手順を理解することができそうな・・・。とりあえず，砂川さんの理論電磁気学で学んだように，任意の電荷分布がつくるクーロン場$V(\bm{r})$をルジャンドル関数で多重極展開すればよい。変形核の軸対称電荷分布が$\ell=2$の球面調和関数$Y_{20}(\theta, \phi)$の形の一様分布とすると，回転楕円体の場合よりも計算は簡単になる。

$V(\bm{r}) = \dfrac{-e}{4 \pi \varepsilon_0} \int_V \dfrac{\rho(\bm{r'})}{|\bm{r}-\bm{r'}|}  d \bm{r'} = \dfrac{-e}{4 \pi \varepsilon_0} \int_V \dfrac{\rho(\bm{r'})}{\sqrt{r^2+r'^2-2r r' \cos \omega}}  d \bm{r'} $

$ \displaystyle = \dfrac{-e}{4 \pi \varepsilon_0} \int_V\rho(\bm{r'}) \Bigl\{ \sum_{n=0}^\infty  P_n(\cos\omega) \dfrac{1}{r_>} \bigl (\dfrac{r_<}{r_>}\bigr)^n \Bigr\}  d \bm{r'} $

ここで，$(r_<, r_>)$は $\ r<r' \rightarrow (r, r')\ $または$\ r'<r \rightarrow (r',r) \ $である。さらに，$\cos\omega = \hat{\bm{r}}\cdot \hat{\bm{r'}} = \sin\theta \sin\theta' \cos(\phi-\phi') + \cos \theta \cos \theta'$であり，これはルジャンドル加法定理でさらに次のように展開できる。

$\displaystyle P_n(\cos\omega) = \dfrac{4 \pi}{2 n + 1}\sum_{m=-n}^n Y_{nm}(\theta, \phi) Y_{nm}^*(\theta', \phi') $

したがって， $\displaystyle V(\bm{r}) = \dfrac{-e}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{n=0}^\infty  \sum_{m=-n}^{n} \dfrac{4 \pi}{2n+1} Y_{nm}(\theta, \phi)  \int_V \rho(\bm{r'}) Y_{nm}^*(\theta', \phi') \Bigl\{   \dfrac{1}{r_>} \bigl (\dfrac{r_<}{r_>}\bigr)^n \Bigr\}  d \bm{r'} $

軸対称かつ$x-y$平面に対称な電荷分布に限定すれば，$m=0 \ $の項だけが残り，$Y_{n0}(\theta, \phi) = \sqrt{\dfrac{2n+1}{4\pi}} P_n (\cos\theta)$ を使うと，クーロンポテンシャルは，$\displaystyle V(\bm{r}) = \dfrac{-e}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{n=0}^\infty  P_n(\cos \theta)  \int_V \rho(r', \cos \theta' ) P_n (\cos \theta') \Bigl\{   \dfrac{1}{r_>} \bigl (\dfrac{r_<}{r_>}\bigr)^n \Bigr\}  2\pi r'^2 dr' \sin \theta ' d \theta' $

$\displaystyle = \dfrac{-e}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{n=0}^\infty  P_n(s)  \int_{0}^{1}  \int_0^{R(t)} \rho(r', t ) P_n (t) \Bigl\{   \dfrac{1}{r_>} \bigl (\dfrac{r_<}{r_>}\bigr)^n \Bigr\}  4\pi r'^2 dr' d t$

ただし，$s=\cos\theta, t=\cos\theta'$と置いた。軸対称な一様電荷分布は，$\int_0^{R(t)} \rho(r', t) $ で表現され，$R(t)\ $が方向に依存する一様電荷分布の境界までの距離を表わしている。

図：ルジャンドル加法定理による展開