プリズムによる光の分散

授業の課題で次のような問題を出した。「三角プリズムに太陽光を入射させたとき，プリズムから2mの距離で光のスペクトルはどのくらいの幅に広がるか」。 もちろん，入射角やプリズムの種類で結果は変わるのだけれど，そのあたりも含めて考察せよというものだ。

自分でも考えてみる。可視光におけるプリズムの屈折率$n$の波長依存性は，[1]の上越教育大学の紀要を参考にすると，400nm（紫）から700nm（赤）の範囲で，フリントガラス：$n$=1.65〜1.61，クラウンガラス：$n$=1.535〜1.515くらいになる。なお，紫（380-430 nm），青（430-490 nm），緑（490-550 nm），黄（550-590 nm），橙（590-640 nm），赤（640-770 nm）である。

三角プリズムの底面に垂直に$x$軸をとり，図のように入射角，屈折角，出射角などを定義すると，出射する光線の$x$軸に対する傾き$a$が求まる。スリットを通してプリズムに入射する光の場合，再びプリズムから空気中にでる出射点の位置は分散で数mm程度ズレるかもしれないが，2m先のスペクトルの位置は基本的に光線の傾き$a$で決まる。

図：プリズムによる光の分散

図より，$a = \tan \bigl[\dfrac{\pi}{3} - \sin^{-1}\bigr\{ n \sin \bigl(\dfrac{\pi}{3} - \sin^{-1}\dfrac{\sin \alpha}{n}\bigr)\bigl\}\bigr]$である。これを使って，Mathematicaでスペクトルの分散幅を計算する。ただし，入射角は0.9 rad とした。

f[n_, t_] := Tan[Pi/3 - ArcSin[n Sin[Pi/3 - ArcSin[Sin[t]/n]]]];
g1 = Plot[Table[f[1.605 + 0.01 k, t], {k, 1, 5}], {t, Pi/4, Pi/3}, PlotRange -> {-0.2, 0.3}];
g2 = Plot[Table[f[1.51 + 0.005 k, t], {k, 1, 4}], {t, Pi/4, Pi/3}, PlotRange -> {-0.2, 0.3}];
Show[g1, g2]
200*Table[f[1.605 + 0.01 k, 0.9], {k, 1, 5}]
{13.1215, 9.49956, 5.78634, 1.96916, -1.96692}
200*Table[f[1.51 + 0.005 k, 0.9], {k, 1, 4}]
{46.1667, 44.6014, 43.0304, 41.4533}

図：出射方向aの入射角依存性と波長依存性

結局，入射角が 51.6度（0.9ラジアン）として，プリズムから2m先の位置では，フリントガラスで15cm程度，クラウンガラスで5cm程度に可視光スペクトルが広がる。

［１］屈折率の波長依存性の簡易測定（西山保子・上田淳一）