2022年6月18日土曜日

プリズムによる光の分散

授業の課題で次のような問題を出した。「三角プリズムに太陽光を入射させたとき,プリズムから2mの距離で光のスペクトルはどのくらいの幅に広がるか」。 もちろん,入射角やプリズムの種類で結果は変わるのだけれど,そのあたりも含めて考察せよというものだ。

自分でも考えてみる。可視光におけるプリズムの屈折率$n$の波長依存性は,[1]の上越教育大学の紀要を参考にすると,400nm(紫)から700nm(赤)の範囲で,フリントガラス:$n$=1.65〜1.61,クラウンガラス:$n$=1.535〜1.515くらいになる。なお,紫(380-430 nm),青(430-490 nm),緑(490-550 nm),黄(550-590 nm),橙(590-640 nm),赤(640-770 nm)である。

三角プリズムの底面に垂直に$x$軸をとり,図のように入射角,屈折角,出射角などを定義すると,出射する光線の$x$軸に対する傾き$a$が求まる。スリットを通してプリズムに入射する光の場合,再びプリズムから空気中にでる出射点の位置は分散で数mm程度ズレるかもしれないが,2m先のスペクトルの位置は基本的に光線の傾き$a$で決まる。

図:プリズムによる光の分散

図より,$a = \tan \bigl[\dfrac{\pi}{3} - \sin^{-1}\bigr\{ n \sin \bigl(\dfrac{\pi}{3} - \sin^{-1}\dfrac{\sin \alpha}{n}\bigr)\bigl\}\bigr]$である。これを使って,Mathematicaでスペクトルの分散幅を計算する。ただし,入射角は0.9 rad とした。

f[n_, t_] := Tan[Pi/3 - ArcSin[n Sin[Pi/3 - ArcSin[Sin[t]/n]]]];
g1 = Plot[Table[f[1.605 + 0.01 k, t], {k, 1, 5}], {t, Pi/4, Pi/3}, PlotRange -> {-0.2, 0.3}];
g2 = Plot[Table[f[1.51 + 0.005 k, t], {k, 1, 4}], {t, Pi/4, Pi/3}, PlotRange -> {-0.2, 0.3}];
Show[g1, g2]
200*Table[f[1.605 + 0.01 k, 0.9], {k, 1, 5}]
{13.1215, 9.49956, 5.78634, 1.96916, -1.96692}
200*Table[f[1.51 + 0.005 k, 0.9], {k, 1, 4}]
{46.1667, 44.6014, 43.0304, 41.4533}

図:出射方向aの入射角依存性と波長依存性

結局,入射角が 51.6度(0.9ラジアン)として,プリズムから2m先の位置では,フリントガラスで15cm程度,クラウンガラスで5cm程度に可視光スペクトルが広がる。

[1]屈折率の波長依存性の簡易測定(西山保子・上田淳一)

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