典型的な状態（１）

阪大の菊池誠さんの統計力学の講義がYouTubeで公開されている。

「メルトダウンじゃないだす」とか「甲状腺検査は人権侵害」とか「おしどりマコいじめ」など，Twitterではさんざん物議を醸して，なんだかなぁ・・・なのだけれど，物理の講義はおもしろくてわかりやすい。そのもとになっている講義ノート「統計力学のはじめの一歩」もよい。

その講義では，統計力学の概念的な出発点として，典型的な状態（Typical States）の考え方を採用している。これは田崎晴明さんの培風館「統計力学Ｉ」や菊池さんの弟子の湯川諭さんによる日本評論社「統計力学」などのモダンな教科書で強調されている考え方だ。湯川さんの教科書も最近たまたま本屋（理工系書籍の品揃えと配列が最低のツタヤ・・・）でみつけて買ったところだった。

我々が学んだ50年前もそうだったが，20世紀の古い統計力学の教科書では，エルゴード原理によって物理量の時間平均が相空間平均（＝集団平均）に一致する（はず（らしい））というのが教科書の定番のイントロの記述であり，まあそんなものかと深く考えずに本論に進むのが常だった。

エルゴード原理を基礎とする考え方は，状態数が膨大なために時間平均の時間があっという間に宇宙年齢を超えるオーダになることで否定され，そのかわりとなる論理が要求された。そこで導入されるのが典型的な状態なのだが，この説明がわかったような，わからないような，古い頭ではなかなか飲み込めない。田崎さんの本によれば次のようになっている。

マクロな系の基本的性質：マクロな量子系では，ある平衡状態に対応する「許される量子状態」のほとんど全てが（マクロな物理量の測定値で比較するかぎり）ほとんど区別できない。

平衡状態についての基本的仮定：ある系での（熱力学でいうところの）平衡状態の様々な性質は，対応する「許される量子状態」の中の「典型的な状態」が共通に持っている性質に他ならない。

これは「許される量子状態」と「典型的な状態」は別であるということを主張している。許される量子状態は，マクロな内部エネルギーUが再現される状態（およびその重ね合わせ状態）の集合であり，内部エネルギー以外のマクロ変数の値が再現されるとは主張していないことになる。一方，「典型的な状態」は，「許される量子状態」のうち，系のひとつの巨視的な熱平衡状態とすべてのマクロ変数の組の値が一致する微視的状態の集合ということか。

で，許される状態のうち，ほとんど全てが典型的な状態であるという主張が，マクロ系の基本的性質として主張されていることになる。うーむ，少なくともどの程度のオーダーかという例を簡単なモデルでいいから見せてほしいところだ。