摩擦のあるカルノーサイクル（３）

 摩擦のあるカルノーサイクル（２）からの続き

摩擦のあるカルノーサイクルでクラウジウスの不等式を説明するためには，前回のように$W'$のなかの摩擦力による仕事$\delta w$として表現するかわりに摩擦力で生じた熱$\delta_{\rm q}=-\delta w < 0$として扱うこともできる。

仕事として表現すると：
等温過程 A$\rightarrow$B：（$Q_{\rm H}>0, \quad \delta w_{\rm AB}>0$）
$W'_{\rm AB}=\int_{V_{\rm A}}^{V_{\rm B}} pdV -\delta w_{\rm AB}=W_{\rm AB} -\delta w_{\rm AB}=Q'_{\rm H}$
等温過程 C$\rightarrow$D：（$Q_{\rm L}<0, \quad \delta w_{\rm DC}>0$）
$W'_{\rm CD}=\int_{V_{\rm C}}^{V_{\rm D}} pdV -\delta w_{\rm DC}=W_{\rm CD} -\delta w_{\rm DC}= Q'_{\rm L}$
熱として表現すると：
等温過程 A$\rightarrow$B：（$Q_{\rm H}>0, \quad \delta q_{\rm H}<0$）
$W'_{\rm AB}=\int_{V_{\rm A}}^{V_{\rm B}} pdV + \delta q_{\rm H} = Q_{\rm H} +\delta q_{\rm H} = Q'_{\rm H}$
等温過程 C$\rightarrow$D：（$Q_{\rm L}<0, \quad \delta q_{\rm L} < 0$）
$W'_{\rm CD}=\int_{V_{\rm C}}^{V_{\rm D}} pdV + \delta q_{\rm L} = Q_{\rm L} + \delta q_{\rm L}= Q'_{\rm L}$

カルノーサイクルにおいては，系に入る熱量を温度でわった，エントロピーに対応する状態量$\frac{Q}{T}$の和が保存していた。すなわち，$\dfrac{Q_{\rm H}}{T_{\rm H}}+\dfrac{Q_{\rm L}}{T_{\rm L}} = n R \log \dfrac{V_{\rm B}}{V_{\rm A}} + n R \log \dfrac{V_{\rm D}}{V_{\rm C}} = 0$

一方，摩擦のあるカルノーサイクルで，出入りする熱量に対して，温度で割ったものの和を考えると，$\dfrac{Q'_{\rm H}}{T_{\rm H}}+\dfrac{Q'_{\rm L}}{T_{\rm L}}=\dfrac{Q_{\rm H}+\delta q_{\rm H}}{T_{\rm H}}+\dfrac{Q_{\rm L}+\delta q_{\rm L}}{T_{\rm L}} = \dfrac{\delta q_{\rm H}}{T_{\rm H}}+\dfrac{\delta q_{\rm L}}{T_{\rm L}} \le 0$

これを一般化すると，可逆過程だけのサイクルについては $\displaystyle{ \oint \dfrac{d'Q}{T_{\rm ex}} = 0}$，不可逆過程を含むサイクルについては，$\displaystyle{\oint \dfrac{d'Q}{T_{\rm ex}} \le 0}$，ここで，$d'Q$は系が受け取る熱量で，$T_{\rm ex}$はその熱量を与えた熱源の温度である。これがクラウジウスの不等式。

図：不可逆過程におけるクラウジウスの不等式