ルジャンドル変換（２）

 ルジャンドル変換（１）からの続き

ルジャンドル変換にかかわる関数として，２階微分が正であるC1級関数ではなくて，凸関数という表現を使っているのは，相転移点で微分可能でなくなるような熱力学的関数に対してもルジャンドル変換をしたいがためだとあった。

ということで，ある関数$f(x)$の１階微分$f'(x)$が不連続になるような場合を図示してみると次のようになる。この場合も$f(x)$は連続になっている。

通常，このような場合の関数$f(x)$のルジャンドル変換$f^*(p)$は，次の式で表現されている。

$f^*(p) = - \underset{x}{\min} \{ f(x) - p\, x \} =  \underset{x}{\max} \{ p\, x - f(x) \}$

一階微分できる点の場合はカッコ内を$x$で微分すれば，$p$と$x$が一意的に対応する。そうでない点の場合は，その点の左微分から右微分の値の範囲の$p$に対して，上記の条件から$f^*(p)$を定めることになる。

図：一階微分が不連続な場合のルジャンドル変換のイメージ