ボールウェイン積分

犬も歩けば 面白い式にあたる。ボールウェイン積分というものだ。sinc関数を，${\rm sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x} (x \neq 0)，\rm{sinc}(0)=1$ と定義して，次の積分を考える。

$\displaystyle {\rm BW}_n = \int_0^\infty \prod_{k=1}^n {\rm sinc}(\dfrac{x}{2k-1}) dx$

ことき，${\rm BW}_1={\rm BW}_2=\cdots={\rm BW}_7=\dfrac{\pi}{2}$なのだが，$n\ge8$では，${\rm BW}_8=\dfrac{935615849426881477393075728938}{935615849440640907310521750000}\cdot \dfrac{\pi}{2}$などとなって，ほんのわずかだけずれてしまうというものだ。

下記にフーリエ変換を使った丁寧な証明や説明がある。

Mathematicaを使って確かめてみるとこんな感じ。

In[1]:= Integrate[Sinc[x], {x, 0, Infinity}]
Out[1]:= \[Pi]/2
In[2]:= BW[n_] := Integrate[Product[Sinc[x/(2 k - 1)], {k, 1, n}], {x, 0, Infinity}]
In[3]:= Timing[Table[BW[i], {i, 1, 8}]]
Out[3]:= {21.0407, {\[Pi]/2, \[Pi]/2, \[Pi]/2, \[Pi]/2, \[Pi]/2, \[Pi]/ 2, \[Pi]/2, (467807924713440738696537864469 \[Pi])/ 935615849440640907310521750000}}

［１］Some Remarkable Properties of Sinc and Related Integrals（D. Borwein, J. M. Borwein）
［２］Two curious integrals and a graphic proof（S. Hanspeter）
［３］Borwein積分（黒木玄）