フィボナッチ数列と1/89

不思議な式をみかけたのでメモ。小数点以下の数字の並びがフィボナッチ数列になっている有理数のこと。

$ \dfrac{1}{89}  = 0.0112359550... \\ = 0.01 + 0.001 + 0.0002 + 0.00003 + 0.000005 + 0.0000008 + 0.00000013 + ... \\ = \dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3} + \dfrac{2}{10^4} + \dfrac{3}{10^5}  + \dfrac{5}{10^6} + \dfrac{8}{10^7} + \dfrac{13}{10^8} + ... $

そこで，フィボナッチ数列を$F_i \ (F_0=0，F_1=1， F_2=1， F_{i+1}=F_{i}+F_{i-1}： i\ge1)$として，次の和$S$を定義する。$\displaystyle S = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{F_i}{10^{i+1}}$

このとき，$\displaystyle S=\sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{F_i}{10^{i+1}} = \sum_{i=2}^{\infty} \dfrac{F_{i-1}}{10^i}，10 S = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{F_i}{10^i}$ である。

$\displaystyle \therefore 100S = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{F_i}{10^{i-1}} = F_1 + \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{F_{i+1}}{10^i} = F_1 + \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{F_i + F_{i-1}}{10^i}  = F_1 + 10 S + S$

これから $S = \dfrac{1}{89}$がでてくる。

［１］1/89がフィボナッチ数列を表すのはなぜですか？

［２］小数点以下にフィボナッチ数列が出現する有理数