2020年7月10日金曜日

圏論入門(2)

さあ次は森田真生の「哲学者のための圏論入門」にとりかかろうとしたが,これだと普通の圏論入門の数学書を読むのと同レベルのハードルがあるではないか。チーン。「圏の世界では、対象は「中身が何か」(a ∈ A)ではな く,「他の対象たちとどのように関係しているか」(B → A)ということによって 特徴づけられます」はよかったのだけれど,その次にある「普遍写像性(Universal Mapping Property) による対象の定義」のところで壁にぶつかってしまった。

つまづきの要因のひとつがわかった。8pの,「命題 3.1 写像 f : A → B が Sets の射としてモニック(resp. エピック)であること と,写像として単射(resp. 全射)であることは同値」で,いきなり,Sets が無定義で示されているのだ。ここがつまづきの端緒だったかも。「写像の単射性や全射性は,実は集合の中に一切立 ち入ることなく,他の写像との関係性だけによって external に定式化することが 可能なのです」ということで楽しみにしていたのに・・・。

森田真生の Sets は集合の圏の Set と同じなのだろうか?集合論自身がハードルなので,ハードルの二乗になってしまった。圏の定義(ここまではいちおういいことにした)の後に,小圏(small category)とか局所小圏(local small category)の注釈があって,なんのことかと気持ち悪かったけど,その心配が的中した。

P. S. やはり,「圏 C の対象全体の集まりを Ob(C) と書いたり,C0 と書いたりします。また圏 C の射全体の集まりは Ar(C) と書いたり,C1 と書いたりします。また,圏 C の対 象 A, B に対して,A から B への射全体の集まりを HomC(A, B) と書きます。ここ で、一般に C0 や C1 や HomC(A, B) は集合になるとは限らないことに注意してく ださい」がわかっていなかった。数学で出てくる対象が,集まりだけど集合でない,とはどういうことなのだろうか。


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