翔んで兵庫

先日，大阪府の吉村知事は，春分の日を含む三連休に大阪府と兵庫県の間での不要不急の往来自粛を要請した。法的根拠を指摘されると，厚生労働省から非公開の文書が出ていたのでそれを重視して府知事の判断で要請を発したと弁明した。

ところがこの「大阪府・兵庫県における緊急対策の提案(案)（3月16日，北海道大学西浦博教授）」が公開されるとSNS上ではさっそく突っ込みが入り，危険区域は大阪府・兵庫県であり，「大阪府・兵庫県内外の不要不急な往来の自粛を呼びかける」とは大阪府と兵庫県の間だけの遮断を意味するのではないだろう，読解力はないのかという声があがった。

吉村知事の判断は，半分はリーズナブルで，半分はいつものような維新の粗っぽい決断力顕示欲（パフォーマンス）が見られるような気がする（本気ならば関西広域連合の定例会にも出席し，兵庫県と打ち合わせした上で決断するべきだろう）。それはさておき，ここではシミュレーションによってその判断の合理性を検討する（ただし，吉村も大阪府もまともに分析・吟味はしていないだろう，していれば説明できるはず）。

問題を，「感染者が急増している地域とそれほどでもない地域の間の交流の遮断が，感染者の増加率やピーク日にどのような影響があるのか」というふうに設定しよう。簡単のためにSIRモデルを用いる。大阪府の人口は880万人，兵庫県への移動人口は11万人（1.25%→pとおく），兵庫県の人口は550万人，大阪府への移動人口は33万人（6.00%→qとおく）であり，感染確率は大阪府的A地域で$\beta_a$=0.20，兵庫県的B地域で$\beta_b$=0.25とし，B地域の方がより感染が拡大していると仮定する（本当のところは，大阪府のPCR検査拒否率がトップであることを考えるとよくわからない）。なお，3/22現在の感染者数は，大阪府125人（14ppm），兵庫県107人（19ppm）であるが，初期条件はともに10ppmから計算をはじめる。（注：この移動人口は平日の場合だろうと思われるが，これを適用する。）

２つの地域A,Bに対して，SIRモデルをあてはめ，感染者の移動人口分も感染に寄与すると仮定すると次式が成り立つ。計算はExcelで1000人を1単位，時間は1日を1単位として差分（以下では微分方程式で表現）により実行する。したがって，人口の初期値はA地域で$n_a$=8800，B地域で$n_b$=5500とする。また平均回復日数を$\gamma$=10とする。$p,q$は各地域の移動人口の割合である。

\begin{equation}
\begin{aligned}
\dfrac{dS_a}{dt} &= - \beta_a \dfrac{S_a}{n_a} \{ I_a - (1-p) q I_b \} \\
\dfrac{dI_a}{dt} &= \beta_a \dfrac{S_a}{n_a} \{ I_a - (1-p) q I_b \} - \dfrac{I_a}{\gamma} \\
\dfrac{dR_a}{dt} &= \dfrac{I_a}{\gamma} \\
\dfrac{dS_b}{dt} &= - \beta_b \dfrac{S_b}{n_b} \{ I_b - (1-q) p I_a \} \\
\dfrac{dI_b}{dt} &= \beta_b \dfrac{S_b}{n_b} \{ I_b - (1-q) p I_a \} - \dfrac{I_b}{\gamma} \\
\dfrac{dR_b}{dt} &= \dfrac{I_b}{\gamma}
\end{aligned}
\end{equation}

図　SIRモデルシミュレーションの対数プロット

その結果，次のことがわかった。なお，感染ピークは感染者数 $I(t)$ のピーク日，感染倍率は $I(t)$ を等比級数に近似した場合の公比/日である。ピーク日が前倒しされ，感染倍率が増えるほうが危険度が増すということになる。

①両地域（$\beta_a$=0.20, $\beta_b$=0.25）を分離した場合はそれぞれ次のようになる。

（感染ピークＡ 94日，感染倍率A 1.099，感染ピークB 68日，感染倍率B 1.148）

②①の両地域がp=1.25% q=6.00%で結合した場合は次のようになる。

（感染ピークＡ 81日，感染倍率A 1.116，感染ピークB 67日，感染倍率B 1.151）

③②の条件で地域Bの感染率が低い場合（$\beta_b=0.15$）は次のようになる。

（感染ピークＡ 93日，感染倍率A 1.102，感染ピークB 130日，感染倍率B 1.066）

したがって，自分の地域よりも感染率の高い地域は遮断したほうがよい（感染者数が倍増する日数が7.5日から6.5日になる程度）。感染率の低い地域を遮断してもあまり影響はない（それでも若干危険度は増大する）。ただし現実の大阪・兵庫がこのモデルのケースに当てはまっているかどうかは断定できない。モデルが単純すぎるかもしれないし，基礎データの信頼度が低いと思われることによる。