三角関数と双曲線関数

mathtodonで@Sun_Pillar@mathtod.online（サンピラー）さんが出していた問題をちょっと改変するとこんな感じだった。

$f(x) = \sin x + \csc x + \cos x + \sec x + \tan x + \cot x$ と
$fh(x) = \sinh x + \csch x + \cosh x + \sech x + \tanh x + \coth x$の
極小値は一致することを示せ。ただし，$ 0 < x < \pi/2$とする。

えー，ホントかなと思ったが，数値計算してみると確かにそうだ。その極小値は一瞬 $2\pi = 6.28319$ に見えたが，落ち着いて考えると，ともに，$2+3\sqrt{2}=6.24264$となった（ただし，これを与える$x$の値は，$f(x)$と$fh(x)$では異なる）。

さらに，$f(x)$ では $y = \tan x$とおき，$fh(x)$ では $y=\sinh x$とおくと，

$f(x(y))= \dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}} +  \dfrac{\sqrt{1+y^2}}{y} +   \dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}} +  \sqrt{1+y^2} + y + \dfrac{1}{y}$

$fh(x(y))= y + \dfrac{1}{y} +   \sqrt{1+y^2} + \dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}} +  \dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}} +  \dfrac{\sqrt{1+y^2}}{y} $

となって，両者は一致する。さらにこの関数を$y$で微分して因数分解したものが以下の$h(y)$であり，$h(y)=0$となる$y=1$が極小値を与える。

$h(y) = \dfrac{y-1}{y^2(1+y^2)^{3/2}} \Bigl\{(1+y+y^2+y^3)\bigl(\,1+\sqrt{1+y^2}\,\bigr)+y^4 \Bigr\}$

つまり，関数の極小値を与える条件とその値は，$f(x)$では，

$\tan x = 1 \quad \therefore x = \pi /4 = 0.785398,\quad  f(x) = 2 + 3 \sqrt{2} $

であり，$fh(x)$では，

$\sinh x = 1 \quad \therefore x = \log(\sqrt{2} + 1) = 0.881374, \quad fh(x) = 2+3 \sqrt{2}$

となる。というわけで与えられた三角関数と双曲線関数の極小値は一致した。

三角関数と双曲線関数の間には次の対応があるというのが鍵だった。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sinh x  & \longleftrightarrow \tan x \\
\dfrac{1}{\cosh x} & \longleftrightarrow \cos x \\
\tanh x & \longleftrightarrow \sin x
\end{aligned}
\end{equation}
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In[1]:= f[x_] := Sin[x] + Cos[x] + Tan[x] + Csc[x] + Sec[x] + Cot[x]
In[2]:= g[x_] = D[f[x], x]
Out[2]= Cos[x] - Cot[x] Csc[x] - Csc[x]^2 + Sec[x]^2 - Sin[x] + 
 Sec[x] Tan[x]

In[3]:= Factor[c - c/s^3 - 1/s^2 + 1/c^2 - s + s/c^3]
Out[3]= ((c - s) (-c^3 - 2 c^2 s - 2 c s^2 - s^3 + c^3 s^3))/(c^3 s^3)

In[4]:= a = x /. Solve[Cos[x] == Sin[x] && x > 0 && x < 1, x, Reals][[1]]
Out[4]= -2 ArcTan[1 - Sqrt[2]]
In[5]:= fa = f[a] // FullSimplify
Out[5]= 2 + 3 Sqrt[2]

In[6]:= fh[x_] := 
 Sinh[x] + Cosh[x] + Tanh[x] + Csch[x] + Sech[x] + Coth[x]
In[7]:= gh[x_] = D[fh[x], x]
Out[7]= Cosh[x] - Coth[x] Csch[x] - Csch[x]^2 + Sech[x]^2 + Sinh[x] - Sech[x] Tanh[x]

In[8]:= cc = Sqrt[1 + ss^2]
Out[8]= Sqrt[1 + ss^2]
In[9]:= Factor[cc - cc/ss^2 - 1/ss^2 + 1/cc^2 + ss - ss/cc^2]
Out[9]= (1/(ss^2 (1 + ss^2)))(-1 + ss) (1 + ss + ss^2 + ss^3 + ss^4 + Sqrt[1 + ss^2] + ss Sqrt[1 + ss^2] + ss^2 Sqrt[1 + ss^2] + ss^3 Sqrt[1 + ss^2])

In[10]:= b = x /. Solve[Sinh[x] == 1 && 0 < x && x < 1, x, Reals][[1]]
Out[10]= ArcSinh[1]
In[11]:= fb = fh[b] // Simplify
Out[11]= 2 + 3 Sqrt[2]

In[12]:= N[{a, b, f[a], fh[b]}]
Out[12]= {0.785398, 0.881374, 6.24264, 6.24264}
In[13]:= Plot[{f[x], g[x], fh[x], gh[x]}, {x, 0, Pi/2}]
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図　三角関数f(x) 双曲線関数fh(x)とそれらの微分 g(x) gh(x) のグラフ