角運動量演算子については，次の交換関係から出発して，固有値と固有状態の議論ができる。一般化された角運動量演算子$\boldsymbol{J}$はエルミート演算子であり，その成分は交換関係$[J_i, J_j] = i \hbar \epsilon_{ijk}J_k$を満足すると仮定する。このとき，$\boldsymbol{J}^2=\sum_{i} J_i^2=\sum_i J_i^\dagger J_i$も固有値が正のエルミート演算子となり，$[\boldsymbol{J}^2, J_i]=0$であることから，$\boldsymbol{J}^2$と$J_z$の同時固有状態$|\lambda \mu \rangle$が存在し，その固有値$\lambda \hbar^2, \mu \hbar $は実数となる（$\lambda \ge 0$）。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{J}^2 |\lambda \mu \rangle &= \lambda \hbar^2 |\lambda \mu \rangle\\
J_z |\lambda \mu \rangle &= \mu \hbar |\lambda \mu \rangle
\end{aligned}
\end{equation}
$J_x^\dagger J_x + J_y^\dagger J_y = \boldsymbol{J}^2- J_z^2$の左辺の $|\lambda \mu \rangle$による期待値が正であることから，固有値 $\lambda - \mu^2 \ge 0$が成り立つ。すなわち，$-\sqrt{\lambda} \le \mu \le \sqrt{\lambda}$である。
また，昇降演算子，$J_{\pm}\equiv J_x \pm i J_y$を定義すると，$J_{\pm}\dagger=J_{\mp}$, $[\boldsymbol{J}^2, J_{\pm}]=0$,$ [J_z, J_{\pm}]=\pm \hbar J_{\pm}$, $ [J_+, J_-]=2\hbar J_z$などが成り立つ。
ここで，$J_{\pm} |\lambda \mu \rangle$ がどんな状態かを調べると次のことがわかる。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{J}^2 J_{\pm} |\lambda \mu \rangle &= \lambda \hbar^2 J_{\pm} |\lambda \mu \rangle\\
J_z J_{\pm}|\lambda \mu \rangle &= (\mu\pm1) \hbar J_{\pm} |\lambda \mu \rangle
\end{aligned}
\end{equation}
すなわち，$J_{\pm} |\lambda \mu \rangle = C_{\lambda\mu}^{\pm}\hbar |\lambda \mu\pm 1 \rangle$。ここで，$C_{\lambda\mu}^{\pm}$は比例定数であり，規格化条件を用いて，$\langle \lambda \mu| J_{\mp} J_{\pm} |\lambda \mu \rangle = |C_{\lambda\mu}^{\pm}|^2 \langle \lambda \mu\pm 1 |\lambda \mu\pm 1 \rangle$ より，$C_{\lambda\mu}^{\pm} = \sqrt{\lambda -\mu(\mu\pm 1)}$
ただし，$J_\mp J_\pm = \boldsymbol{J}^2-J_z^2 \mp \hbar J_z$であることに注意する。
ある固有状態から出発して，昇降演算子$J_{\pm}$を繰り返して作用すると，$\boldsymbol{J}^2$の固有値を共有し，$J_z$の固有値が離散的に変化する一連の固有状態のシリーズが得られるが，これは，固有値$\mu$に対する条件と矛盾することから，$\mu$の上限$\mu_max$と下限$\mu_min$においては比例定数$C_{\lambda\mu}^{\pm}$が0となって，シリーズが中断される必要がある。すなわち，
\begin{equation}
\begin{aligned}
J_{+} |\lambda \mu_{max} \rangle = 0, \quad &C_{\lambda\mu_{max}}^+ = \sqrt{\lambda-\mu_{max}(\mu_{max}+1)} = 0\\
J_{-} |\lambda \mu_{min} \rangle = 0, \quad &C_{\lambda\mu_{min}}^- = \sqrt{\lambda-\mu_{min}(\mu_{min}-1)} = 0
\end{aligned}
\end{equation}
これから，$\mu_{max}(\mu_{max}+1)= \mu_{min}(\mu_{min}-1)$が成り立ち，因数分解すると，$(\mu_{max}-\mu_{min}+1)(\mu_{max}+\mu_{min})=0$となる。$\mu_{max}$と$\mu_{min}$の差は整数$n=0,1,2,\cdots$となることから，$\frac{n}{2}=j$とおいて，この半整数 $j=0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \cdots$に対して，$\mu_{max}=j, \mu_{min}=-j, \lambda=j(j+1)$となる。そこでこの場合の$\mu$を$m=-j, -j+1, \cdots j-1, j$と書くことにする。
そこで，固有状態と固有値を表すシンボルを$\lambda, \mu$から$j, m$に変えてまとめると，
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\begin{array}{|l|}
\hline
\quad \boldsymbol{J}^2 | j m \rangle &= j(j+1) \hbar^2 | j m \rangle \quad \\
\quad J_z | j m \rangle &= m \hbar | j m \rangle \quad \\
\quad J_{\pm} | j m \rangle &= \sqrt{j(j+1)-m(m \pm 1)}\ \hbar | j m \pm1 \rangle \quad \\
\hline
\end{array} \\
\end{array}
\end{equation}
（角運動量の合成への道（２）に続く）
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