素数生成式

オイラーが，$f_q(n)=n^2+n+q$という式に次のような性質があることを発見した（オイラーの素数生成式の秘密  tujimotterのノートブック）。ある特別な数$q$に対して，変数(引数)として連続した整数$n$を代入すると，$q-1$個の式の値 $f_q(0), f_q(1), \cdots f_q(q-2)$ がすべて素数になるというのである。ここで，特別な数とは，$q=2,3,5,11,17,41$である。例えば，$f_5(0)=5○,\  f_5(1)= 7○, \ f_5(2)=11○,\  f_5(3)=19○,\  f_5(4)=25×$ なるほどね。

他にも，１変数の簡単な多項式で連続した整数を代入した値がすべて素数を与えるものがあるというので調べてみると，O. Cira, F. Smarandache の "Various Arithmetic Functions and their Applications(2016)"に行き着いた。今年 Ver 1.0を迎えて注目の(？)プログラミング言語 julia で確認してみた。 

using Primes                
                            
function euler(n)           
  local p1,p2,p3::Int64     
#arXiv:1603.08456v1  O. Cira and F. Smarandache (2016)
#Euler...40primes           
  p1=abs(n^2-n+41)          
#Fung, Ruby...45primes      
  p2=abs(36n^2-810n+2753)   
#Laudreu, Gupta...57primes  
  p3=abs((n^5-133n^4+6729n^3-158379n^2+1720294n-6823316)/4)
  (n,p3,isprime(p3))        
end                         
                            
for k=0:60                  
  println(euler(k))         
end                      

結果は
(0, 1705829, true)   
(1, 1313701, true)   
(2, 991127, true)    
(3, 729173, true)    
(4, 519643, true)    
(5, 355049, true)    
.....                
(50, 1404721, true)  
(51, 1707499, true)  
(52, 2071373, true)  
(53, 2505127, true)  
(54, 3018307, true)  
(55, 3621251, true)  
(56, 4325119, true)  
(57, 5141923, false) 
(58, 6084557, false) 
(59, 7166827, true)  
(60, 8403481, true)

そだね〜。